Элементарное введение в теорию вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
§ SK
НЕЗАВИСИМЫЕ СОБЫТИЯ
33
от этого рассуждения мы сразу видим, что сумма трех данных вероятностей значительно превышает единицу и потому вообще никакой вероятностью быть не может.
Для решения поставленной задачи мы заметим, что вероятность того, что станок потребует внимания рабочего, равна 0,1 для первого станка, 0,2 для второго и 0,15 для третьего. Так как эти три события Езаимно независимы, то вероятность того, что осуществятся все эти три события, по правилу (4) равна
0,1 •0,2-0,15 = 0,0003.
Но события «все три станка потребуют к себе внимания» и «по крайней мере один из трех проработает спокойно», очевидно, представляют собой пару противоположных событий. Поэтому сумма их вероятностей равна единице, и, следовательно, искомая вероятность равна 1 — 0,0003 = 0,9997. Когда вероятность события столь близка к единице, то это событие можно практически считать достоверным. Это означает, что почти всегда в течение часа по меньшей мерс один из трех станков будет работать спокойно.
Пример 3. На испытательном стенде испытываются в определенных условиях 250 приборов. Вероятность того, что в течение часа откажет какой-то определенный из этих приборов, равна 0,004, и эта вероятность одна и та же для всех приборов. Найти вероятность того, что в течение часа откажет хотя бы один из испытываемых приборов.
Для отдельного прибора имеется вероятность
1 _ 0,004 = 0,996
того, что этот прибор не откажет. Вероятность того, что не откажет ни один из двухсот пятидесяти испытываемых приборов,'равна по правилу умножения для независимых событий произведнию 250 множителей, каждый из которых равен 0,996, т. е. равна (0,996)250. А вероятность того, что откажет по меньшей мере один из приборов, равна поэтому
1 - (0,996)250.
3 Б. р. Гнеденко, А. Я- Хинчип
34 УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ И ПРАВИЛО УМНОЖЕНИЯ [ГЛ. 3
Подробный расчет, который мы здесь приводить не будем, показывает, что это число приблизительно равно 5/8. Таким образом, хотя вероятность отказа каждого из приборов в течение часа и не велика, но при испытании большого числа приборов вероятность отказа хотя бы одного из них становится уже весьма значительной.
То рассуждение, которым мы пользовались в двух последних примерах, легко может быть обобщено и приводит к важному общему правилу. В обоих случаях речь шла о вероятности Р (Ль или Л2, или..., или Л„) наступления по меньшей мере одного из нескольких взаимно независимых событий Ль Л2, Ап. Если мы обозначим через А/, событие, состоящее в том, что Ah не наступает, то события Л* и А* взаимно противоположны, так что
р(лк)+р(А*>=т:
С другой стороны, события Ли А2, Лп, очевидно, взаимно независимы, так что
Р(Л„ и Л2, и .... и ЛП) = Р(Л,)Р(Л2) ... Р(Л„) =
= [1-Р(Л1)][1-Р(Л2)] ... [1 — Р (Л„)].
Наконец, события_(Ль или Л2, или ..., или Ап) и (Л,, и А2, и ..., и Л„), очевидно, противоположны друг другу (одно из двух: либо наступает по меньшей мере одно из событий Ah, либо наступают все события Аь). Поэтому
Р(Л|, или Л2, или ..., или Л„) =
= 1—Р(Л„ и А2, и ..., и Л„) =
- 1 - [1 - Р .(Л,)] • [1 - Р (Л2)] ... [1 - Р (Л„)]. (5)
Эта важная формула, позволяющая вычислить вероятность наступления по меньшей мере одного из событий Ль А2, .... Л„ по данным вероятностям этих событий, верна тогда и только тогда, когда эти события взаимно независимы. В частном случае, когда все со-
§9]
НЕЗАВИСИМЫЕ СОБЫТИЯ
35
бытия Аь имеют одну и ту же вероятность р (как мы это имели в примере 3),
Р(Л„ или А2, или .... или Ап) = 1 — (1 — р)п. (6)
Пример 4. Вытачивается деталь прибора в виде прямоугольного параллелепипеда. Деталь считается удачной, если длина каждого из ее ребер отклоняется от заданных размеров не более чем на 0,01 мм. Вероятность отклонений, превышающих 0,01 мм, составляет
по длине pi = 0,08, по ширине р2 = 0,12, по высоте /?3 = 0,1;
найти вероятность Р непригодности детали.
Для того чтобы деталь оказалась неудачной, нужно по крайней мере в одном направлении иметь уклонение от заданного размера, превышающее 0,01 мм\ так как обычно эти три события могут считаться взаимно независимыми (ибо они в основном вызываются различными причинами), то для решения задачи можно применить формулу (5); это дает
Р = 1 — (1 — р,)(1 — Рг)(1 ~ Pi) *** 0,27;
следовательно, удачными из каждых-100 деталей окажутся в среднем 73.
ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ
СЛЕДСТВИЯ, ПРАВИЛ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ
§ 10. Вывод некоторых неравенств
Вернемся снова к примеру с лампочками из предыдущей главы (стр. 25). Введем следующие обозначения событий:
А — лампочка стандартного качества,
Л —лампочка нестандартного качества,
В — лампочка изготовлена первым заводом,
В —лампочка изготовлена вторым заводом.
Очевидно, события Л и Л составляют пару противоположных^ событий; такую же пару составляют события В и В.
