Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
В частности, положив / = ]Са;/г> & - Z! Р;§7> применив к обеим
п тп
частям равенства (6.3.11) дифференцирование Ц (rf/rfa,) П (d/dP/), а
затем подставив а - р = 0, получим тождество
п m
$ : П'Р : IIФ (?/МФс === i-i /-1
- ^ят (А, сгя(1))... Cgn(n^, (6.3.12)
128 Гл. 6. Теория поля
где @л - группа из п\ перестановок л чисел {1, 2, п}. Срав-
нение полученного представления с фоковым осуществляется с помощью
формулы
: П Ф(/<): Q = П (а (С1/2/)) Q. (6.3.13)
t=i г=1
Вернемся теперь к свободному полю с ковариацией С =
- (-Д+m2)-1 и представлением (6.2.18). Имеем
Ж = $й = ZF = L2 (SP' (Rd~l), (6.3.14)
Здесь = X n-фоково представление для полей в нулевой момент времени,
определенное гауссовой мерой на 9"(Rd~l) с ковариацией (2ц)(л = (-Л +
т2)1/2. Пусть ц/ - действие ц на /-ю переменную функции Для где
( 00 К п I ^
^(Я) = |/е^: /"е^(^), <^|, (6.3.15а)
положим
я/ = {Hfn)^0 = { ? mfn } . (6.3.15b)
/-1 Jn-0
Теорема 6.3.6. В фоновом представлении (6.3.14) гамильтониан свободного
поля определяется соотношениями (6.3.15) и, кроме того,
(6-3.16)
Замечание. Формула (6.3.16) означает, что каждая из частиц в /л движется
под действием свободной динамики независимо от остальных частиц и, более
того, ее движение совпадает с движением одной частицы в &~\ под действием
динамики e~lt>x. Символически Н можно записать в виде Н - ^ ц (k) а' {k)
а (k) dk.
Доказательство. Рассматривая все функции в нулевой момент времени, имеем,
в силу аналитического продолжения и следствия 6.2.7, e~itHel(f^'i = exp
(iq> (e~i(^f))-Согласно формуле (6.3.10), получаем, что
e~itH :егф(?>: = exp [((e-i(|V, (2|х)-1 e~itv'J) - (f, (2ц)-1 /))/2] :ехр
(/ф (е_Иц/)):.
Так как группа унитарна, то выражение под знаком первой экспоненты в
правой части на самом деле равно нулю. Разложение в соответствии с
(6.3.10) приводит к равенству e~itH :ф (")": = :ф Воспользовавшись
представлением
(6.3.14) с тем, чтобы отождествить 3^ с получим равенство
(6.3.16). |
6.4 Каноническое квантование 129
Теорема 0.3.7. В пространстве 36 = (F гамильтониан свободного поля можно
записать в виде
Н ~ [ Н (х) dx= (а* (х) (ха (х) dx,
где плотность энергии равна
Н(х) = ~ : я2(х):+т'. (^Ф)2 (х): + \ пг2: ф2 (*):.
Доказательство. Разлагая а(х)*а(х) с использованием формул перехода
(6.3.7), в которых положено С = (2ц)-1, психодим к написанному выше
выражению для Я(х). |
6.4 Каноническое квантование
Начнем с подведения итогов § 6.2-3 для случая d = 1 и сравнения
конструкций пространств Ж, (F, операторов Я, я и т. д. с соответствующими
понятиями гл. 1, 3. Фактически абстрактное построение пространства Фока
воспроизводит квантование гармонического осциллятора. В общем же случае
различным мерам в
9'(Rd) при d = 1 соответствуют другие квантовомеханические си-
стемы с одной степенью свободы. С помощью векторнозначных полей ф(7)
можно получить все шредингеровы гамильтонианы из гл. 1.
В частности, начнем с рассмотрения гауссовой меры dq>c на пространстве
9"(R) с нулевым средним и ковариационным оператором С = (-d2/dt2-\-m2)~x.
В силу следствия 6.2.8, мы получим в качестве Ж гильбертово пространство
Ж=L2{R,dv), (6.4.1)
где dv - гауссова мера на прямой с нулевым средним и дисперсией (2ц)-1 =
1 /2т = const. В стандартном представлении
dv (q) = (т/л)1'2 е~'п^ dq, (6.4.2)
где dq - мера Лебега на прямой, и Q = 1. Теперь выпишем соответствующее
представление канонических коммутационных соотношений. Оно было
определено в теореме 6.3.3, а его единственность доказана в теореме
6.3.4. Для того чтобы воспользоваться этими теоремами, подставим в
(6.3.7) (2ц)-1 = (2т)~1 вместо С, q вместо ф, р вместо я и т д. Получим
формулы
а~ -j=r(mil2q + im~l/2p), a* = -^~(mxl2q - im.-'l2p) (6.4.3)
н их обращения
q = (2т)-'/2(а* -j- а), р - (m/2)l/2i(a*- а). (6.4.4)
130 Гл. 6. Теория поля
Кроме того,
р - р* - - i (d/dq) + imq, [р, q] = - i, a = (2m)~il2 d/dq, a* = (2mf12 q
- (2rtif1/2 d/dq,
(6.4.5)
[a, a*] = 1.
Это и есть канонические коммутационные соотношения (ККС). В силу формулы
(6.3.9) при с = (2т)-1 получим, что
есть собственный вектор оператора Н с собственным значением пт. Сравнивая
полученные формулы с соответствующими результатами § 1.5, видим, что в
представлении, где Q0 == 1, они совпадают при т= 1. Итак, гауссова мера в
случае d= 1 описывает квантовомеханический гармонический осциллятор.
Переписанный с помощью (q, d/dq) гамильтониан та*а примет вид
Чтобы перейти к более привычному виду гамильтониана Н в пространстве
L2(R, dq), воспользуемся подобным преобразованием
ПЛебег=== ехр (-^) Яехр(-т/-) =1т (--^г + <72 - l). (6.4.8)
На этом мы закончим обсуждение гауссовых мер и канонического квантования
гармонического осциллятора.
Рассмотрим теперь возмущение Я и установим формулу Фейнмана - Каца.
Теорема 6.4.1. Пусть d\i - рассмотренное выше гауссово распределение в
^(R*) при d-l, а V(q)-вещественная непрерывная ограниченная снизу
функция. Если при этом оператор Н -j- V самосопряжен, то
а,пQ = Рп (q л]2m)
