Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
операторов а (/) и a*(g), определенных на плотном множестве 3)
комплексного гильбертова пространства Ж, такая, что для любых А, А\,
/)2е(r) и любых функций / и g из 3? справедливы соотношения
а (1)3) с= 3), a* (g)3) а 3), (6.3.4а)
<Аи a(f)A2) - (a*(f)Ai, Л2>, (6.3.4b)
И/). a(g)] = [a*(f), a*(g)] = 0, (6.3.4с)
[a(f), a*(g)]A = <.f, g)A. (6.3.4d)
Это представление называется фоковым, если существует единичный вектор Q
е Ж, такой, что для всех / еУ
а(/)й = О,
а множество 2D представляет собой линейную оболочку векторов a*(fi) ...
a*(fn)Q, п = 0, 1, ... .
Пример. Пусть &~п - пространство симметрических Ьг-функций на Rnd, В
част": ности, - множество комплексных чисел. Определим
ОО
gr = ? Q=iey-0, (б.8.ба)
п=о
Обозначим через Sn симметризацию, т. е. проекцию пространства L2(Rnd) на
Зг", и пусть 3) - линейная оболочка в вектора ?2 и векторов вида
/(*1.....Хп) = S"f,(x,) ...fn(Xn),
где а п = 1, 2.....Для таких функций / определим операторы а
и а* на 2) формулами
(a* (g) /) [хх.хп+\) = (я + 1)1/2 Sn+ig (хп+\) f (х,....хп),
(" (g) /) (хи ..., хп-\) = n1/2 ^ g (хп) / (xi.Хп) dxn. (6.3.5Ь)
Непосредственные вычисления показывают, что равенства (6.3.5) задают
фоково представление канонических коммутационных соотношений.
Переходя к следующему примеру фокова представления, возьмем Эв = Ьг(9"
(Rd), йфс), ?2 = 1, а множество 3) определим как пространство многочленов
на У'(/?й). Рассмотрим ф(/) (это линейная координатная функция на 9"(Rd))
как оператор умножения на пространстве Ж с областью определения 3). Тогда
q>(f)S) ci 2Е) а Ж. Как и в формуле (6.3.2), пусть
я(Л = -К/, 6/6ф> + 2-'(ф(С-1/).
Если обратный оператор С-1 действует из 9'(Rd) в 9'(Rd), то к тому же
126 Гл. 6. Теория поля
я([)2) с 2) и можно проверить, что ср п я как операторы на 2) симметричны
и удовлетворяют соотношениям
[ф(Л- n(g)] = i(f, g)l, (6.3.6а)
[ф (/¦), Ф (&)] = 0 = [я (/), я (g)J. ((6.3.6b)
Теорема 6.3.3. Допустим, что у оператора С существует квадратный
корень С1/2 и что С±1/2 - операторы из 9(Яа) в 9'(Rd).
Тогда,
если положить
а (/) = 2-1ф(С-1',2/)+ от (С1/2/), (6.3.7а)
a*{f) = 2_1ф (C~I/2/)- m(C1/2/), (6.3.7Ь)
го операторы а, а* задают фоково представление канонических
коммутационных соотношений.
Доказательство. Коммутационные соотношения для а, а* следуют из
соотношений для ф и я. Так как 0=1* а([) = (С-1/2/, 6/6ф>, то a(f)Q = 0.
Соотношение между а и а* следует из того, что ф симметричен (как оператор
умножения на вещественную функцию) и оператор я тоже симметричен (по
теореме 6.3.2). |
Наконец, разложение Эрмита пространства L2(9'{Rd), d<fc) получается при
помощи отождествлений
30 = La(9>'(Rd), dyc) - ^,
которые допустимы в силу единственности фокова представления,
доказываемой ниже.
Теорема 6.3.4. Пусть {ар а*}, / = 1, 2,- два фоковых представления
канонических коммутационных соотношений на 9 с вакуумными векторами ?2/.
Тогда они унитарно эквивалентны и, более того, оператор U,
устанавливающий эту эквивалентность, однозначно определен требованием UQi
= Q2.
Доказательство. Положим
At = а* (Ъ) ... а\ (fn) % Bt = а\ (gx) ...a' (gm) %
Мы убедимся, что <Лi, Bi> = <Л2, В2>, так что оператор U, определенный
равенством UAX = А2 и продолженный по линейности (и непрерывности) до
унитарного оператора из в Жг, устанавливает требуемую эквивалентность.
Если U' - какой-нибудь другой оператор, устанавливающий унитарную
эквивалентность и такой, что U'Qt = Q2, то с неизбежностью U'Ai - А2, т.
е. U = U', и тем самым U единствен.
Из коммутационных соотношений и равенства a,fi; = 0 следует, что <^> = m
•= Z 8l)(a' (8\) • • • <h (81-1) <h (g]+l) ... a* (gm) Qlt a* (f2) ...a]
(fn) Q{). /=1
Поэтому, пользуясь индукцией по m, получим окончательно, что Bi) =
^<Л2,В2>. |
6.3 Пространство Фока и виково упорядочение 127
Определение 6.3.5. Подпространство SFп ci 2F называется "-частичным
подпространством SF. Пусть /={/"}п=0, где -
разложение вектора на п-частичные компоненты. Оператор
Nf - с областью определения
2>(N) = {f: Zn2llf"lP<oo}
называется оператором числа частиц.
Фоково представление облегчает построение ортогональных полиномов Эрмита.
Пусть Еп - ортогональная проекция пространства на n-частичное
подпространство $Гп. Так как ср = = с!/2 (а* а), то полиномы степени п
порождают пространство
Т1
2 @~i- Поэтому процесс ортогонализации мономов степени п 1=0
можно определить формулой
:ф(/0 Ф(fn): = En<p(f\) ... Ф(fn), (6.3.8)
и, в частности,
:Ф (/')п: = сп/2 (с~1/2Ф (/)), (6.3.9)
где Рп(х)- полином Эрмита от одной переменной, определенный формулами
(1.5.12), (1.5.13), а нормирующий множитель с теперь равен
с = </, Cf)= ^ ф(/)2й?фс
вместо нормировки <Q2> = 1/2 в формуле (1.5.18). Продолжим по линейности
виково двоеточие : : на многочлены и сходящиеся степенные ряды. Тогда, в
силу (1.5.12), получим, что
;еФ(Г). = ? = е-с12еФш (6.3.10)
В следующей формуле заключены многие комбинаторные факты, связанные с
мономами Вика:
^ :e<P(f>; :еФ(г): rfcpc = e-"f.c^+(g. сг"/2 ^ еФ(?+г)^фс. (6.3.11)
