Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Следствие 6.2.7. Для функции f е 9*0 справедливо соотношение e~tH : ехр
(/<р (/")): - = : ехр ("р (/*)): ~.
Доказательство. Утверждение получается комбинацией соотношения (6.2.16) с
формулой Т (t) ei<f ^ = ег(р и определением е~ш == T(t)~ оператора Н.
Следствие 6.2.8. После отождествления пространства Ж с Ж о скалярное
произведение в Ж задается с помощью гауссовой меры на пространстве
9"{Rй~1), у которой характеристический функционал имеет вид
S {/} = e-<f. f>/2. (6.2.17)
Этот результат можно выразить формулой
Ж = и(9"(Rd~¦), ?/ф1Л2|0)-. (6.2.18)
В этом представлении для пространства Ж операторы поля в нулевой момент
времени суть не что иное, как операторы умножения,
6.2 Свободное поле 123
и, следовательно, диагонализуемы. Эги операторы являются линейными
координатными функциями на пространстве ^'(Z?'*-1), которое служит
пространством конфигураций классического поля. Таким образом,
представление (6.2.18) задает квантование свободного поля, являющееся
непосредственным обобщением квантования систем с конечным числом степеней
свободы, которое обсуждалось в гл. 1. См. также § 6.4.
Механика, определенная следствиями 6.2.7-8, - это механика системы
невзаимодействующих осцилляторов. В самом деле, любую гауссову меру можно
рассматривать как тензорное произведение одномерных гауссовых мер в том
же смысле, в каком любой самосопряженный оператор является, в силу
спектральной теоремы, прямой суммой или прямым интегралом одномерных
операторов. В частности, в случае (6.2.18) оператор |а-1 диагонализуется
при помощи преобразования Фурье в пространстве импульсных переменных р е
Rd~l. Разложение по (нормальным) фурье-модам технически проще в случае
дискретных прямых сумм или интегралов, поэтому мы и ограничимся этим
случаем.
Пусть Дd - оператор Лапласа с нулевыми условиями Дирихле на границе и вне
полосы
-оо ^ t ^ оо, 0 ^ X; ^ L.
Пусть, кроме того, Ad = &D - d2/dt2- соответствующий лапласиан по
пространству, |ад = (-Ad -f т2)1/2. Функции
й - \
ек (х) = (2/LYd~ !>/2 П sin (kaxa), ka е= (я/L) Z+,
а- 1
являются собственными для оператора •-AD и образуют полное множество
собственных функций операторов Ad и \xd, когда последние действуют в
пространстве L2([0, L]d~l). Собственное значение оператора Ад,
соответствующее равно Xk = k-k.
Начав со свободного гауссова поля, определенного ковариационным
оператором -ДБ\ мы построим евклидово и физическое пространства <SD и 36d
и, как и выше, покажем, что
Md = L2(!?'(R*-\ <*Ф(21хвГ>)>
Диагонализуя, как и ранее, оператор [Id, можно написать
X ^k. где Жк = L2(R, dy , ( 2 -1/2V
U ke((n/I,)Z+)i-' k К 2 1 (к +т) ')
Другими словами, является /^-пространством с одномерным гауссовым весом с
дисперсией -j (k2 + т2)-1/2. Разложим и пространство So в тензорное
произведение
= X #к-
к е >
124 Гл. в. Теория поля
Если повторить в обратном порядке рассуждения, приведшие нас от формулы
(6.2.10) к (6.2.14), то получим, что
&k = L2(SP'(Rd), d<pcw), где С(к) = (--? + к2 + т2у\
Иначе можно сказать, чтоё?к и Ж\ являются соответственно евклидовым и
физическим гильбертовыми пространствами для одного гармонического
осциллятора.
6.3 Пространство Фока и виково упорядочение
Продолжая изучение свободных полей, мы хотим определить понятие частицы в
пространстве
d<pm->). (6.3.1)
Как и в случае систем с одной степенью свободы (§ 1.5), это эквивалентно
разложению пространства Ж по полиномам Эрмита, поскольку n-частичные
состояния в Ж совпадают с подпространством, порожденным всеми полиномами
Эрмита п-й степени. Это разложение приводит к хорошо известной
конструкции пространства Фока. Представление Эрмита - Фока применимо к
любой гауссовой мере, поэтому ради большей общности рассмотрим
произвольную гауссову меру dtyc с характеристическим функционалом
(6.2.2). В качестве технического средства нам понадобится формула
интегрирования по частям. Положим
(}>ст^) = S y)~b^(yTdxdy- (6-3-2)
Здесь С(х, у)- интегральное ядро ковариационного оператора, а 6/бф(у)-
производная по ср (см. § 9.1).
Теорема 6.3.1. Пусть Л(ср) - полином, определенный на пространстве
9"{Rd), а С - непрерывная билинейная форма на 9'(Rd)'X X.9>{Rd). Тогда
jj Ф (/) А (ф) dcpc =^(j,C А (ф) d<fc. (6.3.3)
Доказательство. Сначала докажем эту формулу для А=е^^\ К полиномам можно
будет перейти при помощи линейных комбинаций экспонент и взятия предела.
Пусть
F (X) = jj е'ф (g+V) d<fc = e~<e+Kh с <в+^"/2.
Тогда
* J Ф (/) егф(8> d<fc = F' (0) = - {/, Cg) е~(8, CgV2 =
= ~ (/• Cg) \ е* <"> d4,c = ? J (f, С -А.) № dq>c. |
6.3 Пространство Фока и виково упорядочение 125
Замечание. Полученная формула интегрирования по частям продолжается по
непрерывности на значительно более широкий класс функций А (ф) и
оказывается весьма полезной во многих случаях (см. § 9.1).
Определение 6.3.2. Пусть ЗР- вещественное предгильбертово пространство.
Представлением канонических коммутационных соотношений на 3? называется
пара линейных отображений /->-а(/), g-+a*(g) из 3? в пространство
