Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
что носитель этой меры лежит в переднем конусе р2 - р2 ^ 0, Ро ^ 0.
Воспользовавшись инвариантностью относительно действия группы Лоренца,
получим представление (6.2.7-8). В случае гауссовых мер функция S2 и мера
dф однозначно определяют одна другую, а в общем случае каждая из функций
52, и dp однозначно определяет остальные. Итак, всякой спектральной мере
dp соответствует по крайней мере одна гауссова мера.
Фиксируем теперь dp и построим соответствующую ему гауссову меру с?ф.
Сначала рассмотрим случай dp (ш2) = дтг. Тогда W2 = Д *. Интегрирование
по мере dp можно выполнить точно, после чего аналитическое продолжение х0
ixo приведет к формуле
S" (х) = ^ etpx (р2 + ш2)-1 dp {т2). (6.2.9)
Возьмем теперь ковариацию
С = (-Д + т2)-1 (6.2.10)
и с помощью формулы (6.2.2) построим меру d\i.
Для произвольной меры dp умеренного роста, подчиняющейся условиям
(6.2.8), определим
С= ^ (-A + m2)-1dp(m2) (6.2.11)
и опять построим меру d\i = d<fc по формуле (6.2 2). Сходимость интеграла
(6.2.11) при малых (соответственно больших) значениях га2 следует из
условий относительно dp и известного асимптотического поведения ядра
оператора (-Д-j-l)-1 при больших (соответственно малых) значениях х. Щ
6.2 Свободное поле 121
Определение. Квантовые поля, построенные выше по гауссовым мерам dcpc,
называются обобщенными свободными полями. В частном случае dp(m2)-bm*
(см. (6.2.9-10)) такое поле называется свободным полем с массой т и
нулевым спином. Оно удовлетворяет свободному волновому уравнению
(д*и ' д*ц - т2) ф ^ ~ 0> (6.2.12)
Для такого свободного поля построение физического гильбертова
пространства § 6.1 можно выполнить явно. Пространство Ж - это
пространство L2 с гауссовой мерой d(p0 на 9"(Rd~l), определенной
значениями поля в нулевой момент времени1). В случае размерностей d = 1,
2 мы будем считать, что т? > 0, в соответствии с соотношениями (6.2.8),
хотя и в этих случаях легко построить свободное поле нулевой массы, если
выбрать другое пространство основных функций.
Для функции f^.9>(Rd~l) положим
ft(x) = f(x)&,(хо), (6.2.13)
и пусть ^0= {/е^^-1): f(0) = 0}. (Последнее ограничение позволяет
рассматривать нулевую массу и в случае размерностей d= 1, 2.)
d-1
Предложение 6.2.5. Пусть С = (-Д + т2)~х. Положим Д = Е д\ и
а-1 а
ц = (-Д + m2) 1/2 (6.2.14)
Тогда для s, t ^ 0 и функций /, справедливо тождество
(0gs, Cft) = ±<g, ц-'<?-*<'+"/). (6.2.15)
Более того, оператор С обладает свойством положительности при отражениях.
Доказательство. Скалярное произведение в левой части соотношения (6.2.15)
берется в пространстве Lz(Rd), а в правой - в пространстве L2(Rd~l). Для
доказательства тождества перепишем левую часть для преобразований Фурье,
затем при помощи вычетов выполним интегрирование по dp0 и сделаем
обратное преобразование Фурье по переменным р - р\, . .., pa-1. Для
функций f = g из пространства ??'(#'*), носители которых лежат в области
будущего, скалярное произведение в (6.2.15) неотрицательно. Поэтому
оператор С положителен при отражениях. |
Теорема 6.2.6. Пусть, как и ранее, мера d\i гауссова, а С =* = (-Д + т2)-
1. Тогда векторы / е ^0, принадлежат про-
странству S+ из § 6.1. Более того, вложение ~ переводит линейную оболочку
этих векторов изометрично в пространство Ж.
*) Значение q>(h,0) поля в нулевой момент времени - это ограничение поля
ф(х, t) на гиперплоскость t = 0. Тот факт, что <p(ft, 0) является
случайной величиной из Lp, следует из свойств рассмотренной выше меры
d<fc. См. по этому поводу следствие 6.2.8 и гл. 8.
122 Гл. 6 Теория поля
Доказательство. Непосредственные вычисления из тождества (6.2.2) для
вещественных функций fug дают
(j |e*<p<f)_e;<p(g) lzdqJc=2(l~e^-e' c<f-""/2).
Взяв последовательность g,rl* g (r) f(, п -> оо, при />0 и feJ10'
получим, что е<ф e 8+ и аналогично е*'Ф ^ = lim eicp ^ e <^+. Если f; e
PV
/ -> 0
TO 0ф (//, о) = ф (fj, о) И
1 (Z v*•')' t - <? (v*('Л"')• 2 v"•
\ / i / S
Поэтому ~ - изометрия.
" (r) i(P (f*)
Пусть 6 / - подпространство, натянутое на векторы е х * , т. е.
соответствующее моменту времени t Для функции / е ^0 пусть f* = e~tilf.
Тогда, в силу (6.2.2) и предложения 6 2.5,
(? : ехр (ир (ft)) г)я = (А, : ехр (/Ф (/*)) Г)^. (6.2.16)
Это соотношение можно доказать сначала для Л = е*Ч)^^' а затем,
рассмотреа линейные комбинации и перейдя к пределу, и для любого элемента
А из (J Sf
1 t>0 В формуле (6.2.16) : ехр ф (/) : = ехр [ф (/)--- {f, C/)J. Имеет
место включение
?0 =>( [J -УЛ~.
Vf >о J
Доказательство будет закончено, если мы покажем, что объединение (J St
t> о
порождает пространство 8+. Поскольку характеристический функционал
является целой функцией от f е SP (Rd) и ft, f е ff'o, то существуют
моменты всех порядков. Поэтому полиномы от поля {ф (f) | f s 9* (Rd),
supp f сг порождают все пространство 8+. Из аппроксимации интеграла по
dx0 римановыми суммами вытекает, что то же самое верно и для полиномов от
{ф(М \'f е Ро,
t > 0}. Поэтому U St порождает пространство S'+. Щ *>о
