Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
отвечающий ей множитель сокращается при делении на статистическую сумму в
формуле (2.3.5). |
Заметим, что при положительном внешнем поле h ^ 0 остается ферромагнитной
и модель Изинга с мерой
exp (h X еЛ <*цл dviH. л = Т -~У%- \-----------. (4.2.2)
J ехр ( Л 2, Ei ) d^A
V ieA /
Теорема 4.2.3. Пусть h ^ 0 в (4.2.2). Тогда корреляционные функции
(4.2.1) модели Изинга (4.2.2) с внешним полем h имеют предел при
Доказательство. В формулах (2.3.4) и (4.1.6) для меры и среднего надо
положить 1А = р при А = ^af, а{+е i, I 4-^еЛ, а;. = а{+е =1: J А = h при
А = {а,}, ieA, а; = 1 и /а = 0 в остальных случаях. Увеличение Л
эквивалентно возрастанию значений некоторых /а, поэтому, согласно
предложению 4.2.1, <?(r)> - монотонно возрастающая функция объема Л.
Сходимость вытекает из оценки сверху (предложение 4.2.2). |
78
Гл. 4. Корреляционные неравенства и теорема Ли - Янга
Аналогичное доказательство сходимости применяется и в случае решеточных
полей, у которых исходное распределение для единичного спина имеет вид
e~p№d%, где Р(|) - ограниченный снизу полином вида Р - четный полином +
линейная функция. В этом случае равномерная оценка моментов (g-4) сверху
требует дополнительного обоснования. Такая оценка легко доказывается с
помощью метода многократных отражений, развиваемого в гл. 10 для
непрерывных полей. Использование этого метода в решеточном случае проще,
чем в непрерывном, но подробнее эти вопросы будут обсуждаться в части II.
4.3 ^-неравенства
Выберем распределение d\it для отдельного спина в виде d\n =
- e~p'i^'^d%i, где
= + К>° или Яг = 0, а,>0. (4.3.1)
В этом случае справедливы дополнительные корреляционные неравенства,
называемые ^-неравенствами, так как во взаимодействие входит четвертая
степень спиновой переменной.
В дополнение к переменным %, введенным в § 4.1, определим две новые
переменные %' и положим
/: = 2-*(t: + xa ?; = 2-1/2(?;-*;),
ai = 2-1/2(^. + /;), рг = 2-1/2(^ - /;), (4.3.2)
Y, = 2-1/2(<7г + 0, - 2_ 1/2 (<7/ qi) •
Заметим, что переменные (а, р, у, б) и (?, %, %') связаны орто-
гональным преобразованием пространства R4.
Теорема 4.3.1. Пусть полином Р имеет вид (4.3.1), а гамильтониан
П == Ji, fe&i 2-i Jij> hi ^ 0,
i. j i
удовлетворяет условию (4.1.4). Тогда
(с^р^б0) ^ 0, (4.3.3)
где среднее берется по учетверенному набору переменных (произведение
мер), подобно тому как это определялось в (4.1.8).
Корреляционные неравенства с дополнительными переменными (например,
неравенство (4.3.3)) вводятся для того, чтобы получить затем неравенства,
содержащие двойные разности исходных корреляционных функций. В качестве
промежуточного шага выведем неравенства для простых разностей
корреляционных функций переменных t, q.
4.3 |4-неравенства 79
Следствие 4.3.2 (неравенства Лебовица):
{tAtB) - {tA)(tB)^ О,
(qAqB)~(qA)(qB)> о,
(tAqB)-(tA){qB)^ о.
Доказательство. Сначала при помощи леммы 4.1.2 убеждаемся, что каждое из
выражений, стоящих ниже в квадратных скобках, ферромагнитно по переменным
а, .. ., б, а затем применяем (4.3.3):
(tAtB) - {tA) {tB) = (tA (tB - t'B)) =
= 2-( I A | + | В | )/2 + [(a + p)B _ (a _ p)B]
) ^
W)-{cA){qB) = {q,A(q,B-qB)) =
= 2-( I A | + | В 1 )/2 + б)Л [(Y + 6)B _ {y _ 6)B] ) ^
{tA){qB)-{tAcB) = (tAWB-qB)) =
= 2-( I A 1+1 B 1 )/2 {(a + Р)л [(v + 6)B - (y - 6)B] ) > 0.
Доказательство теоремы 4.3.1. Предположим, что Xi > 0 для всех i <= Л.
Общий случай рассматривается аналогичйо. С точностью до множителя Z~4
среднее в (4.3.3) имеет вид
J ал ... 6°е~ I" (tm)+н <*>+" М+н <*'>1 Д (х;)). (4.з.4)
i
Здесь Я (|) + ... + Я (хО = - Z + • • • + Х-Х/] - ? А, [|г +
X, +
/ / 1,1 1 + |г + Хг]- Перепишем эти суммы в переменных а, ..., б. Так как
преобразование Х;> ?". Xt) -*¦ (""> Р/. Yj. ^j) является ортогональным, а
коэффициенты [.. .] при It, имеют вид скалярного произведения в
переменных ?, ..., то эти коэффициенты сохраняют прежний вид и в
переменных а, ..., б. Поэтому, используя равенство 2аг = 21/2 + fj) = (l;
+ Xt + 1; + X^)> получаем, что
Н(1)+ ... +Я(х/) = "Е/(/[","/+ ••• + в,в/]"2ЕА"а<- (4.3.5)
Гамильтониан (4.3.5) является ферромагнитным, поскольку Jij^O и hi ^ 0.
Разложив экспоненту в (4.3.4) и взяв произведение интегралов по различным
узлам решетки, мы сведем задачу к доказательству неравенства
J аЭДу?Ъ1 dn,. (?г) ... dnt (X'i) > 0 (4.3.6)
для всех I, k, ..., п. Для простоты опускаем далее индекс i.
Воспользуемся явным видом меры d\i (g) = е~к^'~а^ d%, где Я > 0. В силу
ортогональности замены переменных ?, ... •*.->• a. имеем .. ,d%' = da
rf|3 dy d6 и
<т(12 + X2 + I'2 + x'2) - + P2 + Y2 + 62).
G помощью явных вычислений получаем
24 (I4 + X4 + Г4 + Xм) = (а + р + у - 6)4 + (а + р - у + б)4 +
+ (а - Р + y + б)4 + (- а + Р + y + 6)4 =
= 4 (а4 + р4 + y4 + б4) + 12 (а2р2 + а2у2 + ...) - 4! 4ар-уб.
80 Г л. 4. Корреляционные неравенства и теорема Ли - Янга
Следовательно, Я(?) + Р(%) + Р(Ц') + Р(%') равняется ферромагнитному
члену (-са(5уб) плюс четная функция от а, (5, у, б, и можно переписать
