Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
(?лёв) - (1Л)(?В)^0 второе неравенство Гриффитса ^-l-О (теорема 4.1.3).
Здесь А = {at} есть подмножество точек решетки i, взятых с кратностями
at,
(4.1.2)
обозначает произведение спиновых переменных. Пусть задан полиномиальный
гамильтониан
Я = (4.1.3)
А
Гамильтониан (4.1.3) называется ферромагнитным, если JA^0 для всех А.
Говорят, что гамильтониан порождается взаимодействием ближайших соседей,
если Ja = О для всех подмножеств А, эа исключением тех, которые состоят
из одной точки решетки или из двух соседних точек. Пусть -распределение
вероятно-
стей отдельного спина, т. е. некоторая мера на R. Предположим, что для
любого N выполнено следующее условие:
П
n<*MW<oo. (4-1.4)
j=i
Определим статистическую сумму
(4.1.5)
4.1 Неравенства Гриффитса 75
где dp, (Q = п d[ii(h)- Среднее <F> от функции F(?) по этой мере i
равно
<F> = 4-$^(g)e-"">dji(?) (4Л-б)
(здесь обозначения отличаются от введенных в гл. 2 выделением из меры d\i
множителя е-Н(л)). Неравенства Гриффитса справедливы для средних вида
(4.1.6), где Н - ферромагнитный гамильтониан.
Для доказательства неравенств (4.1.1) рассмотрим две решетки и два набора
спиновых переменных
Е (?ь • ¦ • " %п) I X (%1> • • ¦ > •
Наборы I, % можно рассматривать как координаты в Rn (r) Rn. Введем также
повернутую систему координат
h - (?г "Ь Я/)> - (4-1.7)
Обратное преобразование координат задается формулами
h), (4-1.7')
Мономы %А, tA, qA определяются так же, как и выше. Кроме того, для
функции F = F{|, %) определим среднее
<F) = Z-2$^, x)e~("re)+"(,c)>d|i(S)d|i(x). (4-1.8)
Если функция F зависит только от Н, или только от %, то (4.1.8) совпадает
с (4.1.6).
Теорема 4.1.1. Пусть Н - ферромагнитный гамильтониан, меры Jn"(?<)
симметричны относительно преобразования и,
кроме того, выполнено условие (4.1.4). Тогда все моменты меры
(4.1.6) неотрицательны:
Доказательство. Разложим экспоненту в (4.1.6) в ряд Тейлора. Учитывая
(4.1.4)в можно поменять порядок суммирования и интегрирования, так что
"=г~'Ё-И (?'"*")''"П'мм-
/=0 \ В / < = 1
п
Поскольку Z= ^ (?г) ^ 0, достаточно показать, что каждое слагаемое
/ =)
неотрицательно. Возводя в степень И Учитывая' что (r) ^ ^в'
мы св0*
дим все к доказательству неравенств
п п
°<П5в*С'^1 (1<)=фсП^ (h>
(=1 1
76 Гл. 4. Корреляционные неравенства и теорема Ли - Янга
г Сь
Но из симметрии мер d\ii вытекает, что интеграл \ %[ d\ii (|г) или равен
нулю (когда С/ нечетно), или положителен (когда Ct четно). |
Лемма 4.1.2. Для любого А функция 21л|/2(|л ± %А) - {q + t)A ± ±(<7 - t)A
является ферромагнитным полиномом переменных q и t (т. е. полиномом с
положительными коэффициентами).
Доказательство. По формуле бинома Ньютона имеем
+(>л - I П
i = 1 4 i '
п
? <_"&*'n(;;)"rv.
При сложении или вычитании этих разложений члены разных знаков
сокращаются, а члены одного знака являются ферромагнитными. |
Теорема 4.1.3. В предположениях предыдущей теоремы
(qAtB)>0, (4.1.10)
<т-<т*>^0. (4.1.11)
Доказательство. По лемме 4.1.2 Н(\)-\-Н(%) есть ферромагнитный полином от
переменных q, t. Как и в теореме 4.1.1, разлагая в ряд экспоненту е мы
сводим (4.1.10) к неравенству
$ d^t (h) d"i (Ъ) > 0, (4.1.12)
где fl(, bi ^ 0-целые числа. Используя симметрию меры с?ц, получаем, что
dVi (|) dH (х) = dp (2~ l<2 (q + t)) d|i (2-1<2 (q - t)) =
= dn (2~1/2 (- q - i)) dp (2- '/2 (- q + /)). (4.1.13)
Отсюда видно, что мера (4.1.13) симметрична относительно преобразований
(q, t) -*¦ (-q, t) и (g, t) -*¦ (-q, -t). Следовательно, интеграл
(4.1.12) или равен нулю (если ai или 6, нечетны), или положителен (если
а* и bt четны).
Докажем теперь неравенство (4.1.11). С помощью переменной х перепишем
левую часть (4.1.11):
<6 V) - (1л) <|В> = <|Л (|В - ХВ)) =
= 2-( | А 1 + ) В I )/2 + q)A + q)B _(t__ q)B^
п
где | А | = ? а?. Как видно из леммы 4.1.2, в квадратных скобках стоит
ферро-1-1
магнитный полином, поэтому из (4.1.10) следует, что математическое
ожидание неотрицательно. |
4.2 Переход к бесконечному объему 77
4.2 Переход к бесконечному объему
Рассмотрим одно из простых приложений неравенств Гриффитса. Мы покажем,
что корреляционные функции модели Изинга имеют предел при переходе к
бесконечному объему. Корреляционные функции
<Ба> = <??¦... б'"> (4.2.1)
являются моментами меры, определяемой соотношением (4.1.6).
Предложение 4.2.1. Пусть Н - ферромагнитный гамильтониан. Тогда <?в>
является монотонно возрастающей функцией констант взаимодействия Ja в Н.
Доказательство. По теореме 4.1.3
О < <?¦v> - (\А) (Iе) = -4- <IВ).
dJA
Предложение 4.2.2. Модель Изинга является ферромагнитной, и все ее
корреляционные функции ограничены, <?л) ^ 1.
Доказательство. В модели Изинга = ±1, следовательно, ^ = ±1- Так как <•>
есть усреднение по нормированной вероятностной мере, то |<?Л>| ^ 1.
Покажем теперь, что модель Изинга является ферромагнитной. Вспомним, что
?? = I, и перепишем (2.3.3) в виде
Z (h+e'h-l}
v=l IsA, i+eve A
Первый член является ферромагнитным, а константу можно отбросить, так как
