Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
подмножествах R. Обобщенная функция q е 2У определена двумя своими
свойствами - линейностью и непрерывностью в нуле: q (/")->- 0 при fn-*- 0
в 2). Подробнее см. [Schwartz, 1950-1] или [Гельфанд, Шил5в, 1964-8, т.
I].
72 Гл. 3. Формула Фейнмана - Каца
Теорема 3.4.2 (Минлос). Пусть ?{/}-функционал на ?D(Rd),
удовлетворяющий условиям (1) - (3). Тогда существует единственная
борелевская вероятностная мера d\i(q) на SD'(Rd), связанная с 5{/} при
помощи преобразования Фурье-.
S{f}=$e'"<"dnfa). (3.4.8)
Замечание. Эта теорема обобщает известный результат - теорему Бохнера, в
которой устанавливаются характеристические свойства преобразования Фурье
борелевской вероятностной меры на RN\ S(^), X е RN, является непрерывной,
положительно определенной и нормированной функцией на пространстве RN
(рассматриваемом как сопряженное пространство к RN). Доказательство
теоремы Минлоса имеется в книге [Гельфанд, Виленкин, 1964]. Заметим, что
если функционал S{/} может быть непрерывно продолжен на пространство
Шварца ^(i?d) быстро убывающих функций:
??(i?d) = {/: xrDsf е Loo для всех г, s ^ 0},
то мера d\г сосредоточена на пространстве 9"(Rd) обобщенных функций
умеренного роста.
Теперь мы покажем, как с помощью этой теоремы построить инвариантную
относительно сдвигов по времени меру d\a{q(-)) на S)'(R). Интегрирование
по этой мере дает перенормированную формулу Фейнмана - Каца: для ti ^ t2
^ ... ^ tN
N
(Q, йА2... AnSX> = 5 П А (Я Ш) dV- (3.4.9)
(=i
Мы называем эту формулу перенормированной потому, что она выражает
среднее по основному состоянию Q гамильтониана В, а не по основному
состоянию гамильтониана Н0. Мера dp строится как предел мер d\n при о. Но
при этом удобнее доказывать не слабую сходимость мер d\it, а сходимость
их преобразований Фурье St{f} к пределу 5{/}, который и определяет меру
d\i.
Чтобы избежать технических сложностей и представить наши результаты как
частный случай результатов части II, мы ограничимся функциями V(q),
которые имеют вид четного полинома с произвольной линейной добавкой.
Следующее утверждение имеет место, однако, и для гораздо более широкого
класса потенциалов V(q).
Теорема 3.4.3. При указанных выше предположениях для любой функции
f^SD{R) предел
lim St {/} = 5 {/} (3.4.10)
оо
3.4 Перенормированная формула Фейнмана - Каца 73
существует и удовлетворяет условиям (1) - (3). Следовательно, на 3) (R)
определена мера d\x, для которой справедливы формулы (3.4.8-9).
Замечание. Доказательство этой теоремы будет приведено в части II. Прямое
доказательство можно было бы построить по следующей схеме. Для функции f,
такой, что suppfc:[x, Г], положим
N
q{fN) = N~l ti = x + (T - T)-L,
= i
где fn - ступенчатая функция, построенная на сегментах [tj, //+1] и
такая, что fjv(^) = f(ti) ¦ Тогда по теореме 3.4.1 существует предел
S{fN}= lim St{fN}. Предельный переход при N-+oо может
t-*oo
быть обоснован с помощью обобщения теоремы 3.2.2.
Укажем два свойства функционала 5{/}. Он инвариантен при сдвигах по
времени и отражении во времени, т. е. при заменах + а и t->-t, а также
обладает следующим свойством положительности. Пусть ft{s)='f(s - t)
определяет временной сдвиг функции /, a (0/)(s) = /(-s) - действие в 2D
отражения во времени.
Следствие 3.4.4. Характеристический функционал S{f}, задаваемый формулой
(3.4.10), обладает следующими свойствами:
1) инвариантности: S{f} = S{ft} = S{Bf};
2) положительности при отражениях: если fi(s) - вещественные функции,
равные нулю при s <С 0, i = 1, 2, ..., N, то матрица Ми - S{Qfi - f/}
имеет положительные собственные значения.
Доказательство. Свойство инвариантности очевидно; положительность следует
и" представления (3.4.9) для
<• I
Литературные ссылки
[Кас, 1959], [Гельфанд, Виленкин, 1964].
Глава 4
Корреляционные неравенства и теорема Ли-Янга
Корреляционными неравенствами называются различные неравенства,
связывающие корреляционные функции для моделей статистической механики.
Корреляционные неравенства используются в квантовой теории поля для
доказательства сходимости в пределе
74 Гл. 4. Корреляционные неравенства и теорема Ли - Янга
бесконечного объема (гл. 11), при изучении фазовых переходов (гл. 16) и
критической точки (гл. 17). Доказательство корреляционных неравенств для
непрерывных квантовых полей основано на решеточной аппроксимации. Здесь
мы приводим доказательства корреляционных неравенств только для
решеточного случая. Этот случай представляет и самостоятельный интерес
как модель кристаллических твердых тел. В этой же главе рассматриваются
некоторые простые приложения корреляционных неравенств, а также теорема
Ли - Янга, доказательство которой идейно близко к доказательству
неравенств.
4.1 Неравенства Гриффитса
Простейшими из корреляционных неравенств являются неравенства Гриффитса,
которые утверждают, что для ферромагнитных взаимодействий общего вида
математические ожидания и парные корреляционные функции положительны, т.
е.
первое неравенство Гриффитса (теорема 4.1.1);
