Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
гамильтониан Я0 =-i-A + v^?2 -
- -5-, подробно рассмотренный в § 1.3. С этим гамильтонианом ассо-
цируется диффузионный процесс, так называемый процесс скоростей Орнштейна
- Уленбека, для которого ядро Ж° (q, q') выражается формулой Мелера
(1.5.26). Для процесса скоростей Орнштейна--Уленбека остаются
справедливыми аналоги теоремы
3.1.1 и следствия 3.1.2. Пусть dUqt q> обозначает меру на Jf{q, q', t),
построенную тем же методом, что и мера Винера, только с помощью ядра
Мелера. Тогда формула Фейнмана - Каца для Я0 = -А + \q2 -j, Я = Но + V,
запишется в виде
№ t (<7> я') - (ядро e~tH (q, q'))~ exp Г- [ V (q {s)) ds\dUq, q>.
' -'A* J (3.2.8)
Перейдем ко второму обобщению формулы (3.2.5). Пусть tio(q)- основное
состояние (вакуумный вектор) гамильтониана #о(r)=-fA + T?2-?• В случае d =
1 вектор йо(<7) выражается
3.2 Формула Фейнмана - Каца 67
формулой (1.5.8), а в случае d > 1 -с помощью ее естественного d
обобщения: й0 (q) = Ц й0 (qt), q е Rd. Пусть г-i
dcp0= J Q0(q)Q0(q')dUtq,^. (3.2.9)
RdXRd
Мера dtpo определена на всех непрерывных траекториях q(s)y se(-t/2, t/2).
Таким образом, если -1/2 < t\ ^ t2 ... ^tn<
< t/2 и Ai(q) - ограниченные функции q, то
П
5 П ^(<7('i))dqPo = <Go, Л,е-<'*-'>)".Л2 ... АпОо). (3.2.10) i=i
Так как интеграл (3.2.10) не зависит от t, мы можем распространить меру
dq>o на множество непрерывных траекторий q(s), определенных на
произвольном конечном интервале значений s. Простые вычисления
показывают, что мера d<p0 гауссова. Согласно предложениям § 1.5,
(j q (/,) dqp0 = <Q0, qQ0) = 0,
^ q(ti)q(t2)d(po = (Qo, qe~] = el <Q0, q2Q0) = -Le-\h--u\ t
Обозначим вещественное скалярное произведение <q, /) через
q(f)= ^ q(s)f(s)ds. Будем считать, что вещественная функция f
гладкая и имеет компактный носитель. Аппроксимируя интеграл q(f)
римановой интегральной суммой и воспользовавшись тем фактом, что
преобразование Фурье функции е~1п равно const-(1 -J- В2)-1, получим, что
J q (Я2Лр0 = </, (1 - d2/dsT' f\, = J I J (?) Р(1 + ВТ1 dE = \\f\lu
Другими словами, второй момент меры dq>0 определяется положительным
оператором (1?2)-1, который задает скалярное произведение в соболевском
пространстве Н-\ с нормой Л • II-i. Вычисления также показывают, что
jjei,<f)dcpо = e<fl f>-'/2, (3.2.11)
и тем самым мера dcpo гауссова. Следовательно,
\ q (/)2" d% = (2п - 1)!! || f Щ" = (2п - 1) (2п - 3) ... 11| /11%
J (3.2.12)
^q(f)2n+'dq>о = 0.
68 Гл. 3. Формула Фейнмана - Каца
Равенство (3.2.12) проще всего доказать, представляя q - {l/л/Т) Х(Л +
Л*) подобно формулам (1.5.3) и используя (3.2Л0) вместе с равенством
(1.5.21). Положив / = 2г/// и продифференцировав
(3.2.11), получим, что
5"(f,-</w /<">_,¦ <3-2-13>
где суммирование идет по всем (2п-1)1! разбиениям множества из 2п функций
fi, j - 1, , 2п, на пары.
3.3 Единственность основного состояния
Как правило, у гамильтонианов вида Я = -А + V основное состояние, или,
иначе, вакуумный вектор, единственно. Эта единственность связана с
теоремой Перрона - Фробениуса для матриц со строго положительными
элементами или для интегральных операторов со строго положительными
ядрами и будет доказана в этом параграфе. В случае когда задача
нахождения собственных значений оператора Я рассматривается в конечной
области ЗВ1), у основного состояния Q во внутренности $1 нет нулей, и,
следовательно, оно может быть выбрано положительным. Для существования
вакуумного вектора в случае неограниченной области $ (например, $ = R3)
нужны дополнительные условия на функцию V', см. теорему 1.5.9.
Определение З.ЗЛ. Пусть Л - оператор в гильбертовом пространстве Ж =
L2(X, dv), где X - некоторое пространство с мерой, а dv - мера на нем. Мы
считаем, что оператор Л имеет строго полодательное ядро, если для любой
неотрицательной функции 0е^, ||0||У=О,
Л0 > О почти всюду. (3.3.1)
Такой оператор обладает следующим свойством: для любых положительных
векторов 0, 1]з, тождественно не равных нулю, <0, ЛЦ5> > 0.
Замечание. Оператор Л=е_ш", рассмотренный в теореме 1.5.10, имеет строго
положительное ядро. Ниже мы увидим, что при соответствующих ограничениях
на V то же самое верно для Л = егт. Заметим, что вакуумным вектором Я
является собственный вектор оператора егт, соответствующий его
наибольшему собственному значению.
Теорема 3.3.2. Пусть оператор А имеет строго положительное ядро и [|Л|| =
X - собственное значение А. Тогда % имеет кратность 1, а соответствующий
собственный вектор ?2 может быть выбран строго положительным.
*] Например, при нулевых условиях на границе S3.- Прим. ред.
3.3 Единственность основного состояния 69
Доказательство. Так как А отображает вещественные функции в вещественные,
мы можем считать ?2 также вещественным. В силу положительности ядра
оператора А,
А||?2|Р = (/Ш, ?2><(Л|?2|, |?2|><||Л||||а|Р = А||?2|Р.
Поэтому
(Л?2, ?2) = (А 1 Q |, | Q | >. (3.3.2)
Запишем ?2 = ?2+ - ?2_, где ?2± - положительная и отрицательная части Q.
Тогда, в силу (3.3.2),
<?2+, Л?2_> + <?2_, Л?2 + > = 0, (3.3.3)
