Очарование физики - Глэшоу Ш.Л.
ISBN 5-93972-151-6
Скачать (прямая ссылка):
Игра чисел
к противоречию. Это означает, что утверждение, противоположное нашему, должно быть ложным, а потому само наше утверждение истинно. Допустим, что существует только конечное число простых чисел. Перемножим все эти числа и добавим единицу. Очевидно, что мы получили число, которое нацело не делится ни на одно из простых чисел, имеющихся в нашем списке. Значит, оно тоже является простым. Вот мы и пришли к противоречию, так как этого числа в нашем исходном множестве не было, хотя мы предполагали, что оно содержит все простые числа. Следовательно, существует бесконечное количество простых чисел. Если быть более точным, то это количество равно алеф-нулю.
Дети, когда начинают делить конфету со своими друзьями, открывают для себя дробные числа. Дробные числа получаются при делении одного целого числа на другое. Множество всех дробных чисел называют «рациональными числами». Конечно, на первый взгляд кажется, что количество дробных чисел значительно больше количества целых чисел. Как-никак, между нулем и единицей лежит бесконечное число дробных чисел. В самом деле, между любыми двумя различными дробными числами существует бесконечное число других дробных чисел. Тем не менее, число рациональных чисел опять равно алеф-нулю. Дробных чисел ничуть не больше, чем целых. Мы доказываем это, выражая точное соответствие между целыми и дробными числами:
1/1 ^ 1
1/2 2/1 ^ 2 3
1/3 2/2 3/1 ^ 4 5 6
1/4 2/3 3/2 4/1 ^ 7 8 9 10
2/4 3/3 4/2 5/1 ^ 11 12 13
и т.д.
Мы перечислили дробные числа в порядке возрастания суммы числителя и знаменателя. Существует всего одна дробь, для которой эта сумма равна двум; две дроби, для которых она равна трем; три дроби, для которых она равна четырем, и т.д. В вышеприведенном соответствии дробное число две третьих связано с целым числом восемь. Каждое дробное число связано с различным целым числом, которое, в свою очередь, тоже связано с дробным. Таким образом, количество дробных чисел равно алеф-нулю.
Существует много чисел, которые невозможно выразить через дроби. Такие числа называются иррациональными. Их встречаешь при поиске решений алгебраических уравнений. Даже такое простое уравнение как X2 = 2 имеет иррациональное решение. С помощью карманного каль- Игра чисел
73
кулятора мы узнаем, что квадратный корень из двух равен 1,4142136. Конечно, это число не является точным ответом. Разложение в десятичную дробь продолжается ad infinitum1, никогда не повторяясь. (С другой стороны, при разложении в десятичную дробь рационального числа некоторый набор цифр должен периодически повторяться. Так, 1/7 = =0,142857142857...) Несложно доказать, что квадратный корень из двух действительно является примером иррационального числа.
Очевидно, что существует очень много иррациональных чисел, например, квадратный корень из трех или кубический корень из четырех. Целые числа, дробные числа, квадратные корни, кубические корни и тому подобное входят в множество, называемое «алгебраическими числами». Алгебраическое число определяется как решение алгебраического уравнения типа
X - 5 = 0 ж2 - 2 = 0 2х5 - Зх + 1 = 0 и т.д.
Ясно, что существует бесконечное количество различных алгебраических уравнений. Однако их можно упорядочить, составив систематический список этих уравнений. Поскольку каждое алгебраическое уравнение имеет только конечное число решений, алгебраические числа также можно вписать в систематический список или привести в соответствие с целыми числами. Следовательно, количество алгебраических чисел также равно алеф-нулю. Алгебраических чисел ровно столько же, сколько целых!
Мы что-то упустили? Существуют ли числа, которые не являются алгебраическими? Существуют. Они называются «трансцендентными числами». Примером такого числа является знаменитое число пи (3,14159...), обозначающее отношение длины окружности к ее диаметру. Существует бесконечное количество трансцендентных чисел, и здесь мы, наконец, приходим к бесконечности, которая больше алеф-нуля. И это я сейчас докажу, вновь воспользовавшись эффективным методом reductio ad absurdum.
Допустим, что эти числа между нулем и единицей можно привести в соответствие с целыми числами. Именно так и было бы, если бы количество этих чисел равнялось алеф-нулю. Мы покажем, что наше допущение приводит к противоречию. Каждое из чисел нашего списка
'До бесконечности (лат.) — Прим. пер. 74
Игра чисел
можно выразить с помощью бесконечно длинного разложения в десятичную дробь. Предполагаемое соответствие могло бы выглядеть следующим образом:
1 0,01248...
2 <-> 0,99216...
3^ 0,55158...
4 ч-> 0,01306...
и т.д.
В этом списке каждое число между нулем и единицей должно появляться в некоторой точке. Я продемонстрирую, что это просто невозможно. Я покажу, как построить некоторое число х, которого не может быть в этом списке. Сделать это очень легко. Число х должно раскладываться в десятичную дробь со следующими свойствами. Его первый разряд должен отличаться от первого разряда первого числа списка. Его второй разряд должен отличаться от второго разряда второго числа списка. И так далее. Таким образом, х не равен ни первому числу, ни второму, ни какому бы то ни было числу списка. Число х просто отсутствует в списке. Это противоречие доказывает, что не существует списка, содержащего все числа между нулем и единицей. Количество чисел между нулем и единицей больше алеф-нуля. Это бесконечное число называется алеф-единицей. Так что существует даже иерархия бесконечностей.
