Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктруций - Гленсдроф П.
Скачать (прямая ссылка):
При обсуждении ПОВеДеНИЯ бтР U 6mII B ПрЄДЄЛЬНОМ СОСТОЯНИИ снова удобно принять кинетические константы равными нулю, как в модели Лотка — Вольтерра. Этому соответствует предельный случай, когда —*оо. Кинетические уравнения здесь имеют простой вид
-^ = A+X2Y-BX-X, (14.61)
= BX-X2Y; (14.62)
а дисперсионное уравнение (14.57) переходит в уравнение
ю2 + (Х2+В + 1 - 2XoYo)(o +Xo = O. (14.63)
Подставляя в него стационарные значения (14.54) при k = 0
Z0 = A и Y0 = I-. (14.64)
мы приходим к заключению, что это стационарное состояние неустойчиво, когда
В > Be, (14.65)
где
?c=l + A2. (14.66)
Вычислим бтР, используя соотношения (9.27), (9.53), (14.61) и (14.62). Для нормальной моды и ее комплексно-сопряженной вблизи стационарного состояния (14.64) бтР имеет вид
бтР = і [(2X0Y0 6Х + X0 6Y - В 6Х) - + ~ 6Х 6Х* + + (2X0Y0 6Х* +JX02 6Y* - ВбХ*) (-^- - f^-)] =
= -jg[B(l - В) 6Х 6Х* + A4 6Y 6Y*]. (14.67)
Как и следовало ожидать из общих соображений,' отрицательный вклад (—ВбХбХ*) связан с наличием в системе аутокатализа. При
В<1 (14.68)
бтР положительно определена, что обеспечивает устойчивость. Если В, увеличиваясь, достигает критического значения (14.66), то производство избыточной энтропии исчезает, поскольку В этом случае отрицательный член точно компенсирует вклад положительных членов. Рассмотрим подробнее. Имеем
Me=Bc = АО +А') А2(1 + A*> t(6Xf)2 + (бХ,)2] +
+ A4 [ (o Yr)2 + (6Yi)2]}. (14.69) 218 ГЛАВА 10
Возмущения связаны между собой линеаризованными кинетическими уравнениями; в предельном состоянии (юг=0) эти уравнения можно записать как
(1 - В) 6ХГ - (Oi oXi — A26Yr = 0, (14.70)
(1 - В) бХ,- - A2 OY,- + с»: 6Xr = 0, (14.71)
В 6Xr + A2 6Yr - CDi 6Yi = 0, (14.72)
В 6Xi + (Di 6Yr + A2 б Yi = 0. (14.73)
Из этих уравнений для В = Bc
б Yj = (Di б Yr, 6Xi = — (Di 6Yr, 6Xr = 0. (14.74)
Подставим полученные величины в (14.69):
MB=Bc = Щг(А2 - <*?) (oYr)2. (14.75)
Отсюда как следствие условия предельной устойчивости получаем ©і = ±А; этот результат находится в соответствии с выводами из дисперсионного уравнения (14.63). Кроме того, мы видим, что сої должно быть всегда отлично от нуля (сверхустойчивость — over-stability). В то же время для 6mII имеем соотношение
б,„П = — 4 [6Xr 6Yi — 6Xi 6Yr], (14.76)
которое с помощью (14.74) сводится к отрицательно определенному выражению
ШібтІІ = - 4(о,2 (6Yr)2 < 0. (14.77)
Таким образом, мы убеждаемся в том, что направление вращения определяется знаком 6mll, как и требует уравнение (14.2).
14.5. Временное поведение выше предельной точки
Некоторое представление о поведении модели, изучавшейся в разд. 14.4, можно получить, используя теорию нелинейных колебаний, принадлежащую Пуанкаре (см., например, [122]). Прежде всего преобразуем систему уравнений (14.61), (14.62) в одно уравнение второго порядка относительно переменной X. Для этого продифференцируем обе части уравнения (14.61) и исключим из него Y и dY/dt, используя исходные уравнения [109]. Кроме того, сделаем подстановку:
X (0=А +я(0. (14.78)
Тогда для X(t) получим следующее уравнение:
-S" + ^TX [^3+¦ 3A.V2 + (ЗА2 - В - 1) X +
+ А (А2 — В + 1) — 2 + X (х -j- А)2 = 0. (14.79) ВРЕМЕННАЯ УПОРЯДОЧЕННОСТЬ B ХИМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЯХ
219
Это нелинейное уравнение упрощается, если ввести новую неизвестную переменную ?:
* —ттзр (14-8°)
тогда
d% , Г A2
dt2
+ [(AITTF + 2^-0+1]!+^==0- (І4-8І)
Уравнение (14.81) принадлежит к типу нелинейных уравнений
^- + f(z)^- + g(z) = 0, (14.82)
которые изучал Льенар [112] (см. также работу [122]). Для таких уравнений существует теорема Левинсона — Смита [122], формулирующая условие, при котором уравнение Льенара имеет по крайней мере одно периодическое решение. Одним из условий является неравенство /(0) < 0. Для нашего случая (14.81)
f(O)=A2- В+ 1 < 0. (14.83)
Таким образом, выше предельной точки (14.66) это условие выполнено.
Дополнительная важная информация о локализации рассмотренного решения проистекает из так называемого негативного критерия Бендиксона (см. [122], гл. 3). Эта теорема утверждает, что любое периодическое решение должно пересекать кривую
dwv dw„
-IT + -W- = 0' (14-84)
где wx = dX/dt, wY = dYJdt.
Для системы (14.61), (14.62) кривая имеет вид
V = T + ^ici' <14-85)
она подходит достаточно близко к стационарной точке (14.64). лишь тогда, когда значение В достаточно мало отличается от критического (14.66). Действительно, легко проверить, что сумма корней дисперсионного уравнения равна
dwox dw04 /,,QCV
©І + «2 = -^r + -^-. (14.86)
где «і и юг — частоты нормальных мод, а индекс «0» в правой части означает, что производные вычислены в стационарной точке. В предельном состоянии
CD1+ CD2 = б, (14.87)
откуда следует, что cor = 0. Но это значит, что кривая (14.85) про-, ходит через стационарную точку. Если же В > Bc, кривая (14.85) 220
ГЛАВА 10
проходит от стационарной точки на конечном расстоянии. Таким образом, только в точке нейтральной устойчивости периодическое решение находится в окрестности стационарной точки, и при этом в окрестности стационарного состояния имеется бесконечное множество периодических траекторий. Этот результат является общим для всех моделей, содержащих две переменные (X, Y) и имеющих точку «сверхустойчивости». Как следует из (14.86) и (14.87), стационарная точка лежит на кривой div w = 0. Выше состояния предельной устойчивости эта кривая и, следовательно, периодическое решение проходят на конечном расстоянии от стационарной точки.
