Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктруций - Гленсдроф П.
Скачать (прямая ссылка):
Y
Конкретный вид dtA(pe) и d;Apv можно получить из нелинеаризо-ванных уравнений баланса для приращений (7.49) и (7.52), заменяя в них б конечным приращением (б = А, разд. 7.5). В связи с этим подчеркнем, что использование линеаризованных уравнений
*) Результаты этого раздела в дальнейшем изложении не используются. УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ДЛЯ НЕРАВНОВЕСНЫХ СОСТОЯНИЙ 97
означало бы пренебрежение членами второго порядка в уравнении баланса энтропии (5.1). Тогда можно было бы пренебречь и самой величиной O2S, и уравнение баланса энтропии сводилось бы просто к уравнению первого порядка (5.7), которое не представляет интереса для теории устойчивости.
Нелинеаризованные уравнения баланса для приращений (7.49) и (7.52) вблизи равновесия можно записать как
dt Apv = S vvpMvA«rp — [A (pvAv/) + Pv Av, + Apv Av,].,; (7.85) р '
<5, A (ре) = S Py/A (pyAy/) — p Av,7 — AP4 Avi-, —
y
- [AWі + pe Av1 + A (pe) Av,]r (7.86)
Подставим эти соотношения в уравнение (7.84)~ и используем следующие условия равновесия:
ар-°> fY/ -=IjiVT rV=0- (7-87)
Последнее условие вытекает также из формулы Гиббса—Дюгема (2.46):
2 PY1V, = P7- <7-88>
Используя (2.60) и (2.40) в виде
S PyHy = ре + P — psT, ¦ (7.89)
y
после элементарных преобразований, получим Tdtb (ps) = — APij Avi'j — 2 HyV Apv Av, —
y
- [AW, - S HyA (pYAY/) + Td (ps) Avі + psT Av,] . (7.90) ^ і /
Аналогично, используя второе равенство (7.87) и пренебрегая членами третьего порядка типа Avi(pYAviAvj),j или (Av)2dtp, из не-линеаризованного уравнения баланса для приращений импульса (7.51) находим
4 дЛр (Av)2] = J HY, Avi Apv - Avi (APilIr (7.91)
Y
Подставим (7.91) в (7.90):
3,6 (ps) = -
T-'AW, -J Hy^-1A (PyAY,) +
+ (ps + 6 (ps)) Avi + T-1 APij AviJ7 - { T-1St [р (Av)2]. (7.92)
4 Зак. 566 98
- ГЛАВА 8
И, наконец, определим вклад членов второго порядка от di(pS)e в уравнение баланса энтропии (5.1):
> - у J 'T~Wwn - J (ц/-1) б2 (руДу„) + ps62v„J dQ -
- J [б (ps) + T'1 б/з] vn dQ— J T-1P4V1 a, dQ — dt J у PT'VdV. (7.93)
Это выражение и член (7.83) и являются теми величинами, которые надо добавить к левой части в уравнении баланса энтропии второго порядка (5.8). В отсутствие конвекции (ov* = v, = 0) выражения (7.89) и (7.93) не входят в уравнение баланса энтропии. Это замечание подтверждает справедливость метода, развитого в гл. 5 для чисто диссипативных систем. Однако для более общих случаев, учитывающих конвекцию, мы получаем условия, выведенные в предыдущем разделе. Действительно, благодаря последнему члену в выражении (7.93) величина dt82S заменяется на dt82Z, что вполне согласуется с определениями (6.17) и (6.29). Второй член в (7-93) показывает, что приращение конвективного потока энтропии vno(ps), входящего в ДФ[5], тоже исчезает. Третий член в (7.93) определяет приращение потока, связанное с тензором давления, что согласуется с замечанием в конце разд. 7.10.
Метод, использованный в разд. 7.10 и основанный на уравнении баланса для избытка энтропии, более естествен и прост, чем метод этого раздела, исходящий из уравнения баланса энтропии (5.1). Для неравновесных систем этот второй метод совершенно непригоден.
ч
7.12. Гидротермодинамическая устойчивость
Возвращаясь к полному выражению уравнения баланса для избыточной энтропии (7.56) и используя (6.31), для постоянных граничных условий выведем общий критерий устойчивости
Я[OZ] = J o[6Z]dV>0 (>0) (t>to). (7.94)
Следовательно, общий критерий связан со знаком производства обобщенной избыточной энтропии всей системы. Конкретный вид a[8Z] дается выражением (7.57). Условие устойчивости для произвольной макроскопической системы, включающей и диссипативные и инерциальные эффекты, содержит три типа членов:
1) производство избыточной энтропии (определяет устойчивость в отсутствие конвекции);
2) члены, содержащие в качестве сомножителей градиенты;
3) члены, содержащие макроскопические скорости. УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ для НЕРАВНОВЕСНЫХ состоянии
99
Для переменных граничных условий должно выполняться еще неравенство
J f J б (PvAw) б ((»,Г"') - iW, б Г"1 + Г-1 [ар,, 6v, +
I Y
+ 4PV, (6v)2] —v,62(ps)ja,d?>0 (> 0) (l>t0). (7.95)
Левая часть (7.95) представляет собой поток обобщенной избыточной энтропии. Общие условия (7.94) и (7.95) назовем условиями гидротермодинамической устойчивости, так как они включают и гидродинамическое и термодинамическое описание системы. Чтобы понять физический смысл этих условий, следует рассмотреть различные частные случаи. Это и будет сделано в соответствующих главах. В связи с этим бывают полезны отдельно термодинамические (6.42) и гидродинамические (6.43) условия устойчивости.
7.13. Конкретный вид термодинамического и гидродинамического критериев устойчивости
Чтобы получить конкретный вид только термодинамического критерия (6.42), подставим в (6.16) линеаризованные уравнения баланса для приращений массы (7.49) и энергии (7.52) и умножим обе части на весовую функцию е2 (разд. 6.9), а затем будем действовать точно так же,~как и в разд. 7.6. Используя (7.58) и (7.59) в правой части и учитывая, что временные производные в левой части (6.16) вычисляются при постоянных коэффициентах, после элементарных преобразований получим
