Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктруций - Гленсдроф П.
Скачать (прямая ссылка):
7.9. Устойчивость и производство энтропии
Вводя в рассмотрение соотношения взаимности Онзагера (3.9), получим
2 Ja ЬХа = 2 LafiXsi Ma = S (LfiaXa) = S Xa 6/a. (7.72)
а a? 1 м a? р р а
Тогда приращение производства энтропии имеет вид
6/5 № J S6 <7«х«>dv=2 JS7« dv- (7-73)
a а
Для рассматриваемой системы, находящейся в стационарном состоянии с фиксированными граничными условиями, согласно (7.67), имеем
(SP)st = O. (7.74)
Следовательно,
(AP)s, = I (62P)st = J J OJa 6Ха d\ (7.75)
a
Этот результат позволяет ввести приращение (AP)st в критерий устойчивости (7.62). Таким образом, получается другое интересное доказательство теоремы о минимуме производства энтропии (разд. 3.4). Действительно, видно, что производство энтропии в возмущенном состоянии всегда больше, чем в рассматриваемом стационарном состоянии.
7.10. Устойчивость и равновесие
В данном разделе будет показано, что теорию устойчивости равновесного состояния, развитую в гл. 4 и 5, можно вывести как частный случай общего подхода, описанного в этой главе. Для невозмущенного состояния, соответствующего термодинамическому равновесию, все обобщенные силы в выражениях для произ- УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ДЛЯ НЕРАВНОВЕСНЫХ СОСТОЯНИЙ 95
водства энтропии (2.21) обращаются в нуль. Следовательно,
Лр = 0; Tv1=O; FvT"'- (ц/-1)., = 0; Vi=O. (7.76)
Подставляя (7.76) в уравнение баланса для приращений (7.57) и рассматривая случай невозмущенных граничных условий, получим общее соотношение
2
¦ dt o2Z = P [oZ] =U dV = P [S] > 0. (7.77)
Заметим, что в отличие от задачи, рассмотренной в разд. 7.7, возмущения скорости здесь не исключаются (ovj=?^0). Согласно (2.6), неравенство (7.77) удовлетворяется тождественно. Интегрируя (7.77) по времени, получим
е
—J S2Z= \ Pdt >0 (г —начальное состояние, (7.78) і е — равновесное состояние);
поэтому [ср. с (6.17)]
62s — Г-1 (ov)2 < 0. (7.79)
Полученные условия устойчивости те же, что и раньше [см. (5.18)], так как коэффициент 7м в добавочном члене — величина строго положительная. Тем не менее (7.79) содержит дополнительную информацию. Например, можно сделать вывод, что в системе, находящейся в термодинамическом равновесии, в состоянии покоя не может возникнуть самопроизвольная внутренняя конвекция. Это, конечно, специфическое свойство равновесного состояния. В гл. 11 будет показано, что возникновение свободной конвекции становится возможным, начиная со стационарных неравновесных состояний даже в линейной области (задача Бенара).
В общей проблеме устойчивости равновесного состояния, включающей переменные граничные условия (ср. с разд. 7.2), условие (7.78) следует заменить следующим [ср. с (7.56)] (в равновесии Vt = O):
е е
-162Z= j Pdt- I dt J \w}6Т~] - 2 PA/6^Y7"')-
і і a Y
- T^pilVl -T~lvi6p]a1 dQ> 0, (7.80)
где otj — компонента внешней нормали вдоль оси Xj. Так как первый член в. правой части (7.80) всегда положителен, условие устойчивости будет выполняться одновременно с неравенством
J Г- WjhT1 + 2 p^y,b{ixyT)+Tp4Vl + T1Vj Ьр
et, dQ > 0. . (7.8 Г) 96
- ГЛАВА 8
Заметим, что дополнительное условие (7.81) содержит приращение кондуктивного потока энтропии и члены, связанные с тензором давления, но не содержит приращения конвективного потока энтропии vn6(ps), что можно было бы ожидать из (2.22). Подробно это обсуждается в следующем разделе. Если неравенство (7.81) не выполняется, внешние возмущения могут индуцировать в системе неустойчивость, например появление конвекции.
7.11. Сравнение с уравнением баланса энтропии*)
В гл. 5 был рассмотрен критерий устойчивости равновесных систем, выведенный в разд. 7.10 m уравнения баланса для избыточной энтропии в случае чисто диссипативных систем, которое в свою очередь было получено из уравнения баланса энтропии (5.1). Покажем теперь, как, используя уравнения баланса для приращения массы, импульса и энергии (7.49) — (7.52), можно распространить описанный метод на случаи, включающие инерциальные эффекты, связанные с возмущением барицентрической скорости около состояния покоя (vf = 0, 6vt ф- 0). Таким образом, будет установлено соответствие между различными методами. При этом станет более ясной причина, по которой исчезает конвективный поток избыточной энтропии в (7.81). Как будет показано, метод уравнения баланса для избыточной энтропии (разд. 7.10) наиболее прост.
Прежде чем разбивать уравнение баланса энтропии (5.1) на две части, содержащие соответственно члены первого и второго порядков, необходимо разделить члены второго порядка на dt(SS)e и Ф [5]е (разд. 5.1). Вблизи равновесного состояния можно записать для Wn
Wn = AWn^bWn +^bWn, (7.82)
а также для потоков pYAvn и v«, входящих в выражение (5.4), Вклад членов второго порядка от Ф [S]e получается в виде
\ J \r~Wwn - J (ц/-1) б2 (pYAY„) + psovj dQ. (7.83) L Y
С другой стороны, вклад членов второго порядка от dt(6S)e можно вычислить по уравнению Гиббса (2.60); около равновесного состояния оно дает
dtb (ps) = T~ldtА (ре) - 2 HyT~ldt Apv. (7.84)
