Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктруций - Гленсдроф П.
Скачать (прямая ссылка):
Можно получить другой вид уравнений баланса для приращений, используя подходящую весовую функцию (разд. 7.2) для задачи теплопроводности (см. также разд. 7.13).
Следует подчеркнуть, что уравнение баланса для избытка энтропии (7.56) с учетом уравнения (7.57) записано в инерциальной системе отсчета. Чтобы получить соответствующее выражение в неинерциальной системе, необходимо выполнить следующие операции:
1) кроме внешних сил Fi, ввести в уравнение (7.57) соответствующие инерцйальные силы, например центробежную или ко-риолисовы;
2) в (7.56) и (7.57) v;-, OVj и оператор — соответственно скорость, ее возмущение и локальная временная производная в движущихся осях; при этом предполагается, что движение неинерциальной системы отсчета никак не возмущается.
7.7. Конкретизация критерия устойчивости для диссипативных процессов
Как и в гл. 6, начнем рассмотрение с важного частного случая системы без конвекции. Для таких систем Vj = OVj = 0 и, согласно
*) Производство избыточной энтропии не следует путать с приращением производства энтропии б ^а-^а) (ср. разд. 7.2). 92
- ГЛАВА 8
выражению (6.17), z = s. Подставляя эти равенства в уравнения (7.56) и (7.57), получаем гораздо более простую форму уравнения баланса для избыточной энтропии:
2
где
-i- dtd2 (PS) = G [65]-
oWloT~i -Ja(PvAw) 6(n/"1)
(7.60)
a[o5] = 2o/a6Ja (7.61)
и Ja и Xa определены неравенством (2.21).
Заметим, что поток обобщенной избыточной энтропии и производство обобщенной избыточной энтропии, включающие влияние конвекции, здесь сводятся просто к потоку избыточной энтропии и производству избыточной энтропии соответственно. Это можно проверить на выражениях (2.22) и (2.23) для потока и производства энтропии при условии Vj = 0.
Поскольку мы имеем уравнение баланса для избыточной энтропии, то используя (6.12) и интегрируя по всему объему, получаем конкретный вид условия устойчивости. Таким образом, для фиксированных граничных условий
P[65] = J ^dJaoXadV>0 (>0) (t>t0). (7.62)
а
Следовательно, конкретный вид условия устойчивости определяется знаком производства избыточной энтропии. Ниже приведены примеры фиксированных граничных условий:
{ЬТ~\ или (6Г„)Й=0; (7.63)
[6(^/-^=0 или [б (pvAv„)]q =0. (7.64)
Однако, как уже подчеркивалось в (7.23), та же самая процедура справедлива для более общих граничных условий. Тогда появляется дополнительное условие, задающее поток избыточной энтропии,
IfS
Q1 L Y
o(pY\n)o(nYr-l)-oWnor-1
Y Yrt
Y
d Q>0 (>0), (7.65)
где Qi — часть границы или вся граница. В частном случае, когда рассматриваемая система находится в стационарном состоянии с фиксированными граничными условиями, условие устойчивости (7.62) можно переписать в виде
Pst [65]= J ^Ja8XadV>0 (>0). (7.66) УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ДЛЯ НЕРАВНОВЕСНЫХ СОСТОЯНИЙ 93
Действительно, в данном случае
IJwstWa^=O. (7.67)
а
Соотношение (7.67) легко вывести с помощью уравнений баланса массы и энергии (1.26) и (1.42) соответственно. Для стационарного состояния без конвекции эти уравнения имеют вид
O=S VypMyUSp - [pvAv/].,; (7.68)
р
0 = SVW- Wri- (7.69)
Y
Умножим (7.68) и (7.69) соответственно на —6(|ЛуГ-1) и 67м, затем сложим эти уравнения и проинтегрируем по частям. Граничные члены будут равны нулю и в результате
WibTj - J (рА/)6 [G^"1).,- - +
Y
Очевидно, что соотношение (7.70) тождественно (7.67).
Этот вывод справедлив и в случае теоремы Гельмгольца (разд. 7.3). Действительно, уравнение баланса импульса можно использовать независимо вместо (7.68) и (7.69). Умножая его на r_16Vi и проделывая те же самые операции, мы снова придем к уравнению (7.67). Несколько дополнительных замечаний по поводу уравнения (7.67) сделано в разд. 7.9.
7.8. Устойчивость и линейная термодинамика
До сих пор критерий устойчивости (7.62) появлялся как чисто термодинамическое условие, не зависящее от феноменологических законов. Рассмотрим теперь случай линейных феноменологических законов (3.2) С постоянными-коэффициентами La$. Тогда критерий (7.62) превращается в
P [oS]= JjLa?6Ja6J?d7>0 (>0). (7.71)
a?
Правая часть включает квадратичную форму того же типа, что и производство энтропии (3.8). Поэтому можно считать, что условие устойчивости (7.71) выполняется тождественно, и проявляются все особенности, которые уже выявились в примерах с теплопроводностью (7.8), (7.14) и химическими реакциями (7.41). Более того, в этом случае устойчивость, как правило, асимптотическая. Действительно, для линейных законов при заданных граничных
94
- ГЛАВА 8
условиях может существовать лишь единственное решение. Это означает, что правая часть (7.71) является знакоопределенной функцией по приращениям независимых термодинамических переменных е, V, Ny или ре, Pv (обращение в нуль этих приращений означает исчезновение S2S, и наоборот). Основной вывод, который можно сделать из условия (7.71), состоит в том, что в линейной термодинамике при фиксированных граничных условиях и в отсутствие инерциальных эффектов неустойчивость возникнуть не может. Она может появиться только за пределами области линейности, т. е. вдали от равновесия. Это заключение лежит в основе обобщения термодинамики необратимых процессов на нелинейную область.
