Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гленсдроф П. -> "Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктруций" -> 33

Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктруций - Гленсдроф П.

Гленсдроф П., Пригожин И. Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктруций — М.: Мир, 1973. — 280 c.
Скачать (прямая ссылка): termodinamicheskayateoriyastrukturi1973.djvu
Предыдущая << 1 .. 27 28 29 30 31 32 < 33 > 34 35 36 37 38 39 .. 99 >> Следующая


Наконец, мы видим, что в условиях, далеких от равновесия, химическая устойчивость уже не является следствием устойчивости по отношению к диффузии, как это было вблизи равновесия (гл. 4, теорема Дюгема — Жуге).

7.5. Уравнения баланса для приращений

Рассмотрим теперь общий случай. Сначала выведем конкретные выражения для временных производных, входящих в правую часть локального условия устойчивости (6.28). Для этого нам понадобятся законы сохранения массы, импульса и энергии, которые УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ДЛЯ НЕРАВНОВЕСНЫХ состоянии

89

определяют поведение малых возмущений. Другими словами, нам необходимы линеаризованные уравнения баланса для приращений. Эти уравнения выводятся непосредственно из общих законов сохранения массы, импульса и энергии (1.27), (1.28), (1.30) и (1.42). В результате получаем

dt 6pY = I1 VvpMv б«лр - [б (pvAv/ + pvv,)].,; (7.49)

<3f бр = — [б (pv/)],,; (7.50)

dt6 (PVi) = Fi бр - [бPii + б (pv4v7)].,; (7.51)

dtb (Рв) = S Fyjб (pY&v/) - б (PiiVf1) - [бW1 + б (pev/)].,. (7.52)

Предполагается, что внешние силы не подвержены возмущениям (SFi = 6-Fyi = 0). Как подчеркивалось в гл. 1 и 2, правая часть каждого уравнения содержит приращение потока, заключенное в квадратные скобки и приращение интенсивности источника. Члены, соответствующие приращению интенсивности источников, даются следующими выражениями соответственно:

масса

а [6MY] = S VvpMv б«,р (V = 1, 2 ..., л); (7.53)

р

импульс

OlbQi) = Ft6p (г= 1,2,3); (7.54)

энергия

о [б?] = S Fyfi (pvAw) - б (PijVi;), (7.55)

у

и, конечно, a[OM] = 0. Обозначения, использованные в левой части, указывают на то, что мы имеем источники, связанные с возмущением рассматриваемого состояния (стационарного или зависящего от времени).

Следует отметить, что уравнения баланса для приращений в виде (7.49) — (7.52) справедливы и для конечных приращений, но в последующих разделах (кроме разд. 7.11) символ б используется только как иифинитеземальный оператор. В результате уравнения (7.49) — (7.52) сводятся к линеаризованным уравнениям баланса для приращений.

7.6. Уравнение баланса для избыточной энтропии

Подставим выражения для временных производных (7.49), (7.51) и (7.52) в локальное условие устойчивости (6.28) и проделаем те же преобразования, что и при выводе уравнения баланса энтропии (разд. 3.3). Напомним, что в гл. 2 для вывода уравнения баланса энтропии были использованы уравнения баланса массы, импульса и энергии и формула Гиббса (2.14)t Мы получили, таким 90 - ГЛАВА 8

образом, формулировку второго закона термодинамики через конкретное выражение для производства энтропии.

Чтобы из уравнения (6.28) вывести уравнение баланса для избыточной энтропии, также используем уравнения баланса для приращений. Единственное отличие от вывода в гл. 2 состоит в том, что уравнение Гиббса (2.14) дает dts, а (6.28) содержит 0/62(ps) или dtS2(pz) при наличии конвекции. По аналогии можно ожидать, что из производства избыточной энтропии удастся получить общий вид условий устойчивости.

Подставим соотношения (7.49), (7.51) и (7.52) в (6.28). После элементарных преобразований получим уравнение баланса для избыточной энтропии в случае малых возмущений:

I d,o2(pz) = a [oZ] - { OWi 6Г"1 - 2 б (PVAV/) б (ц/-1) -I у

- Т~1 [бPii бVi + 1 pV/ (ov)2] + v,o2 (ps)} . (7.56)

Член в фигурных скобках представляет собой поток избыточной энтропии, а источник избыточной энтропии дается выражением

a [6Z] = J] б Ta ЬХа - [б (ре) ov, + б Pii ov, + Ipvy (ov)2] Tj -

а

- J] 6pvov, [FyiT-1 - Gx/-1),,.] - [bPit6T~l - Г-'б (Pv7) ov,] vn +

V

+ у T1-1 (ov) (pv,).,+

v°. (7.57)

o(pe)or71-2opY6(^7,-1)7

у

При выводе уравнений (7.57) и (7.56) были использованы следующие равенства:

1) выводится из (2.69), где a,- = ov/,

- O71-1 [o (pev,)],, + S o^r"1) [O (pvv,)]v -

У

= - 671"1 [V,fi (ре)],. + S б (vyT~l) [V16pv],? -

У

-6v,o(pe) Tj + S6v/6pv(txvr-|)7 + 6(pr-,)6vr/; (7.58)

2) -бГ"'б (PiiVi4) + б GOfin =

= - o (p,/Г"1) ov,-/ - Vi7 6Г"1 fiP,/ + б (рГ"1) ov/-/ + + Г"1 oP„ fiv,-/ = - б (рчТ"') ov,v - vr/ 6Г-1 бРг/ +

+ Г OP„ ov,'/. (7.59)

Первый член в правой части входит в сумму по а в уравнении (7.57). В связи с этим заметим, что множитель Г-1 входит только УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ДЛЯ НЕРАВНОВЕСНЫХ СОСТОЯНИЙ 91

в поток Ja и не входит в обобщенную силу Xa. Источник (7.57) содержит вклады двух типов:

1) член диссипативного типа

2<5/а OXa,

а

где Ja и Xa определены соотношєеіиєм (2.21);

2) ЧЛеНЫ, ВКЛЮЧаЮЩИе КОНвеКЦИЮ Через Vj ИЛИ OVj.

Именно благодаря членам второго типа источник o[oZ] важен для понимания того случая, когда и диссипативные и механические явления играют одинаковую роль. Обычное производство энтропии (2.21) так же, как и его приращение, содержит лишь диссипативные члены. Поскольку источник избыточной энтропии (7.57) непосредственно связан с критерием устойчивости (6.31), наличие членов обоих типов позволит исследовать проблему устойчивости в очень общих случаях. Члены первого типа ответственны за неустойчивость чисто диссипативных систем типа химических (гл. 14). Члены второго типа, напротив, определяют гидродинамическую неустойчивость, как в задаче Бенара (гл. 11). В дальнейшем изложении источник o[8Z], входящий в уравнение баланса для избыточной энтропии (7.56), мы будем называть производством обобщенной избыточной энтропии*), а соответствующий поток — потоком обобщенной избыточной энтропии.
Предыдущая << 1 .. 27 28 29 30 31 32 < 33 > 34 35 36 37 38 39 .. 99 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed