Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктруций - Гленсдроф П.
Скачать (прямая ссылка):
Наконец, мы видим, что в условиях, далеких от равновесия, химическая устойчивость уже не является следствием устойчивости по отношению к диффузии, как это было вблизи равновесия (гл. 4, теорема Дюгема — Жуге).
7.5. Уравнения баланса для приращений
Рассмотрим теперь общий случай. Сначала выведем конкретные выражения для временных производных, входящих в правую часть локального условия устойчивости (6.28). Для этого нам понадобятся законы сохранения массы, импульса и энергии, которыеУСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ДЛЯ НЕРАВНОВЕСНЫХ состоянии
89
определяют поведение малых возмущений. Другими словами, нам необходимы линеаризованные уравнения баланса для приращений. Эти уравнения выводятся непосредственно из общих законов сохранения массы, импульса и энергии (1.27), (1.28), (1.30) и (1.42). В результате получаем
dt 6pY = I1 VvpMv б«лр - [б (pvAv/ + pvv,)].,; (7.49)
<3f бр = — [б (pv/)],,; (7.50)
dt6 (PVi) = Fi бр - [бPii + б (pv4v7)].,; (7.51)
dtb (Рв) = S Fyjб (pY&v/) - б (PiiVf1) - [бW1 + б (pev/)].,. (7.52)
Предполагается, что внешние силы не подвержены возмущениям (SFi = 6-Fyi = 0). Как подчеркивалось в гл. 1 и 2, правая часть каждого уравнения содержит приращение потока, заключенное в квадратные скобки и приращение интенсивности источника. Члены, соответствующие приращению интенсивности источников, даются следующими выражениями соответственно:
масса
а [6MY] = S VvpMv б«,р (V = 1, 2 ..., л); (7.53)
р
импульс
OlbQi) = Ft6p (г= 1,2,3); (7.54)
энергия
о [б?] = S Fyfi (pvAw) - б (PijVi;), (7.55)
у
и, конечно, a[OM] = 0. Обозначения, использованные в левой части, указывают на то, что мы имеем источники, связанные с возмущением рассматриваемого состояния (стационарного или зависящего от времени).
Следует отметить, что уравнения баланса для приращений в виде (7.49) — (7.52) справедливы и для конечных приращений, но в последующих разделах (кроме разд. 7.11) символ б используется только как иифинитеземальный оператор. В результате уравнения (7.49) — (7.52) сводятся к линеаризованным уравнениям баланса для приращений.
7.6. Уравнение баланса для избыточной энтропии
Подставим выражения для временных производных (7.49), (7.51) и (7.52) в локальное условие устойчивости (6.28) и проделаем те же преобразования, что и при выводе уравнения баланса энтропии (разд. 3.3). Напомним, что в гл. 2 для вывода уравнения баланса энтропии были использованы уравнения баланса массы, импульса и энергии и формула Гиббса (2.14)t Мы получили, таким90 - ГЛАВА 8
образом, формулировку второго закона термодинамики через конкретное выражение для производства энтропии.
Чтобы из уравнения (6.28) вывести уравнение баланса для избыточной энтропии, также используем уравнения баланса для приращений. Единственное отличие от вывода в гл. 2 состоит в том, что уравнение Гиббса (2.14) дает dts, а (6.28) содержит 0/62(ps) или dtS2(pz) при наличии конвекции. По аналогии можно ожидать, что из производства избыточной энтропии удастся получить общий вид условий устойчивости.
Подставим соотношения (7.49), (7.51) и (7.52) в (6.28). После элементарных преобразований получим уравнение баланса для избыточной энтропии в случае малых возмущений:
I d,o2(pz) = a [oZ] - { OWi 6Г"1 - 2 б (PVAV/) б (ц/-1) -I у
- Т~1 [бPii бVi + 1 pV/ (ov)2] + v,o2 (ps)} . (7.56)
Член в фигурных скобках представляет собой поток избыточной энтропии, а источник избыточной энтропии дается выражением
a [6Z] = J] б Ta ЬХа - [б (ре) ov, + б Pii ov, + Ipvy (ov)2] Tj -
а
- J] 6pvov, [FyiT-1 - Gx/-1),,.] - [bPit6T~l - Г-'б (Pv7) ov,] vn +
V
+ у T1-1 (ov) (pv,).,+
v°. (7.57)
o(pe)or71-2opY6(^7,-1)7
у
При выводе уравнений (7.57) и (7.56) были использованы следующие равенства:
1) выводится из (2.69), где a,- = ov/,
- O71-1 [o (pev,)],, + S o^r"1) [O (pvv,)]v -
У
= - 671"1 [V,fi (ре)],. + S б (vyT~l) [V16pv],? -
У
-6v,o(pe) Tj + S6v/6pv(txvr-|)7 + 6(pr-,)6vr/; (7.58)
2) -бГ"'б (PiiVi4) + б GOfin =
= - o (p,/Г"1) ov,-/ - Vi7 6Г"1 fiP,/ + б (рГ"1) ov/-/ + + Г"1 oP„ fiv,-/ = - б (рчТ"') ov,v - vr/ 6Г-1 бРг/ +
+ Г OP„ ov,'/. (7.59)
Первый член в правой части входит в сумму по а в уравнении (7.57). В связи с этим заметим, что множитель Г-1 входит толькоУСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ДЛЯ НЕРАВНОВЕСНЫХ СОСТОЯНИЙ 91
в поток Ja и не входит в обобщенную силу Xa. Источник (7.57) содержит вклады двух типов:
1) член диссипативного типа
2<5/а OXa,
а
где Ja и Xa определены соотношєеіиєм (2.21);
2) ЧЛеНЫ, ВКЛЮЧаЮЩИе КОНвеКЦИЮ Через Vj ИЛИ OVj.
Именно благодаря членам второго типа источник o[oZ] важен для понимания того случая, когда и диссипативные и механические явления играют одинаковую роль. Обычное производство энтропии (2.21) так же, как и его приращение, содержит лишь диссипативные члены. Поскольку источник избыточной энтропии (7.57) непосредственно связан с критерием устойчивости (6.31), наличие членов обоих типов позволит исследовать проблему устойчивости в очень общих случаях. Члены первого типа ответственны за неустойчивость чисто диссипативных систем типа химических (гл. 14). Члены второго типа, напротив, определяют гидродинамическую неустойчивость, как в задаче Бенара (гл. 11). В дальнейшем изложении источник o[8Z], входящий в уравнение баланса для избыточной энтропии (7.56), мы будем называть производством обобщенной избыточной энтропии*), а соответствующий поток — потоком обобщенной избыточной энтропии.