Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктруций - Гленсдроф П.
Скачать (прямая ссылка):
е2=Т2. (7.13) Условие устойчивости (7.10) примет вид
у { Pf'dttfsdV = J XqbT'ibT.jdV > 0. (7.14)
Сравнение с соответствующим выражением для производства энтропии показывает, что условие устойчивости удовлетворяется тождественно. Аналогичный метод пригоден и в том случае, когда теплопроводность является произвольной функцией температуры, по крайней мере для изотропной среды. В этом случае вводится новая функция (3.34)
т
Q = jx(T)dT (Ti = const), (7.15)
т,
откуда тепловой поток получается в виде
W1 = -B1. (7.16)
Новая функция Q(T), таким образом, является потенциалом теплового потока. Возьмем весовую функцию
є2 = KT2, (7.17)
тогда
{е2 б7—1Jv = - (60)., = - бQ7 = bW,. (7.18)
Учитывая (7.10), вместо (7.14) получим следующее условие устойчивости:
¦ Y { рKT2dttfs dV = \ (bW;)2 dV > 0, (7.19)
которое тоже удовлетворяется тождественно.
Перейдем к рассмотрению более общих граничных условий. Очень распространенный случай соответствует так называемому закону Ньютона для теплообмена на изотермической части Qi поверхности Q:
Wn = a(T-Tex). (7.20)
Предположим, что внешняя температура задана (бГех = 0), а постоянна и индекс «п» соответствует внешней нормали. Тогда на Qi имеем
(bWn)Q=a(bT)Q. (7.21)
Предполагается, кроме того, что для остальной части ограничивающей поверхности Q — Qi выполняются обычные условия (7.4), 84
- ГЛАВА 8
В этом случае из соотношения (7.9) вытекает следующий критерий устойчивости:
У J Ps%62s dV = J bW, [в2 bT~ll, dV + J е2аТ~2 (6Г)2 dQ > 0. (7.22)
S1
Это условие состоит из двух частей: первая сводится к критерию устойчивости (7.10) для задачи с постоянными граничными условиями, а вторая дает условия устойчивости на поверхности
J e2T~2a(bT)2dQ>0. (7.23)
S1
Возможность разбиения (7.22) на два независимых члена объясняется тем, что здесь условие устойчивости является только достаточным. Отсюда сразу следует, что в данном простом случае условия поверхностной устойчивости приводят к неравенству
а > 0, (7.24)
которое имеет четкий физический смысл. Оно означает, что рассматриваемое состояние устойчиво даже по отношению к флук-туациям температуры на поверхности.
Точно так же можно изучать и более общие граничные условия. Например, можно рассмотреть случай, когда с помощью некоторой «обратной связи» определяется соотношение между Гех и температурой на границе Qi. Вариация внешней температуры не исчезает и (7.21) заменяется на
(бГ„)аі = а(бГ-бГех)аі, (7.25)
что дает новое условие устойчивости
J еТ~2а (ЬТ - бГех) ЬТ dQ > 0, (7.26)
а,
которое совместно с (7.24) приводит к неравенству
(ЬТ — бГех) ЬТ > 0, (7.27)
или
ІбГехКІбГІ при бГбГех>0. (7.28)
Если изменение внешней температуры (по абсолютной величине) меньше изменения граничной температуры, то устойчивость обеспечена. Условия устойчивости на границе типа (7.24) или (7.28) могут осуществляться и в некоторых равновесных случаях (разд. 7.1).
В заключение можно сказать, ссылаясь на (7.19), что не следует ожидать возникновения неустойчивости в задачах теплопроводности, если справедливы линейные уравнения типа Фурье. Конечно, вне области применимости закона Фурье неустойчивость УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ДЛЯ НЕРАВНОВЕСНЫХ СОСТОЯНИЙ
85
может появиться, но при этом нужно быть уверенным, что макроскопическое описание еще применимо. Ситуация совершенно меняется, если, кроме теплопроводности, возникает еще и конвекция. В этом случае неустойчивость макроскопических масштабов наблюдается очень часто; явления такого рода подробно изучаются в гл. 11.
7.3. Теорема Гельмгольца о движении вязких жидкостей
В качестве второго примера рассмотрим медленное стационарное движение вязкой несжимаемой жидкости во внешнем поле потенциальных сил. Предположим, что жидкость находится при постоянной температуре, что для достаточно медленного движения вполне оправдано. При этих условиях энтропия s(p, T) остается постоянной. Будем рассматривать только те возмущения, при которых температура и плотность не изменяются (8Т = бр = 0), и поэтому 6s = 62s = 0. И, наконец, поле скоростей на границе будем считать заданным (OV; = 0 на Q). Согласно (6.18), критерий устойчивости в этом случае выражается через возмущение кинетической энергии.
Поскольку движение медленное, можно пренебречь инерциаль-ными членами рVjVrj в уравнении (1.29) как величинами второго порядка малости и использовать упрощенное уравнение движения
PdtVt = P Fi-Pin. (7.29)
Тогда для малых возмущений имеем
P dtbvt =-Ъ (Piri) (7/30)
и
У р dt(bvY = -bvtb(Ptri). (7.31)
Интегрируя последнее равенство по всему объему, получим [ср. С (1.32)]
4 J pdt (bv)2dV = J bpu bvi4 dV. (7.32)
При выводе этой формулы были использованы граничные условия и условие несжимаемости
V14 = O (р = const). (7.33)
Точно так же, как в случае теплопроводности (7.5), устойчивость определяется производством избыточной энтропии, которое появляется в правой части выражения (7.32) (с точностью до постоянного множителя Го"'); чтобы выяснить знак, надо в (7.32) ввести феноменологический закон.
