Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктруций - Гленсдроф П.
Скачать (прямая ссылка):
*) Как, например, e262s, где є2— положительная весовая функция (бе2 =г 0). иногда полезная при вычислениях [см., например (3.27)]. УСЛОВИЯ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКОИ И ГИДРОДИНАМИЧЕСКОИ УСТОЙЧИВОСТИ 75
к единой теории, приложимой и к равновесным и к неравновесным случаям в согласии со статистическим смыслом устойчивости.
6.7. Устойчивость при наличии конвекции
До сих пор мы пренебрегали флуктуациями средней скорости в каждой точке макроскопической системы [локальным движением центра масс, барицентрической скоростью в многокомпонентных системах, см. (1.20)], за исключением случая флуктуаций, вызываемых возмущением плотности. Чтобы, кроме уже рассмотренных диссипативных эффектов, учесть также конвективные эффекты в проблеме устойчивости, необходимо расширить систему независимых переменных, например е, v, AZy, Vi вместо е, v, N4 или ре, pY, V,- вместо ре, pY; здесь Vi — скорость вдоль оси Xi. Следовательно, б2S и o2(ps) больше не являются знакоопределенными функциями по отношению к приращениям бе, 6у, б N4, ov* и б (ре), 6pY, б (/OVi) соответственно. Они становятся вырожденными знакоопределенными функциями, так как могут обращаться в нуль при неисчезающих значениях возмущения скорости (согласно определению знакоопределенной и вырожденной знакоопределенной функций). Поэтому б2S и 62(ps) больше не могут служить функциями Ляпунова. Введем функцию
Z = S —TcT1V2. (6.17)
Тогда в качестве подходящей функции Ляпунова можно рассмотреть отрицательно определенную квадратичную форму
6? = 62 (s - J TO1V2) = o2s - Г-1 (ov)2. (6.18)
Здесь T0 — температура рассматриваемого состояния в момент времени t0, которая не изменяется со временем. Первое условие устойчивости (6.7) принимает вид
(6?) >0. (6.19)
Исходя из уравнений (2.56) и (6.15), получим развернутые выражения для (6.18) и (6.19) соответственно:
o2z = 6Г~! бе + б(рГ-1)б0 - S б(^Г_1)бЛГу-Г-!(бу)2<0 (6.20)
Y
И
Ydtb2z = 6T-ldtbe + b{pT-l)dtov-
_^б((гуГ-1) dfbNy- J T~ldt(6v)2> 0 (> 0). (6.21)
V 76 - ГЛАВА 8
Аналогичные выражения можно вывести и в переменных ре, pY, pvj, которые, как уже отмечалось, более удобны для формулировки условий устойчивости в целом. Сначала заметим, что в переменных р, pVj
6(ру2) = 2у<6(ру,)-у26р; (6.22)
это в свою очередь дает
б2(1ру2) = 6уг6(ру,)- б(|у2)бр (6.23)
или
б2 (1 ру2) = р (6v)2 = рб2 (4 у2) . (6.24)
[PVr P] [V,]
Это положительная квадратичная величина; в квадратных скобках указаны соответствующие независимые переменные. Рассматривая совместно уравнения (2.58) и (2.62), так же, как (6.23) и (6.24), получим в качестве функций Ляпунова отрицательно определенную квадратичную форму
62 (pz) = 62 (ps - у р27 V) < 0. (6.25)
Соответствующее условие устойчивости теперь выглядит как
<3z62(pz)>0 (>0). (6.26)
Следовательно, точно так же, как и в (6.20) и (6.21), локальная устойчивость неравновесных процессов по отношению к малым возмущениям определяется системой неравенств [ср. с (2.61) и (6.23)]
62 (pz) = 6Г_!6 (ре) - J] 6 - 4 TW) 6Pv - Г"1 6V(8 (pv,) < 0
(6.27)
и
і <Зг82 (pz) = bT~ldt 6 (ре) - J] 6 (fЧТ~1 - 4 ToV) dt 6pY -
- Г-1 6v(<3,6 (pv*) >0 (> 0). (6.28) в переменных ре, pY, pv* (6р = 20р>-).3десь опять временные
Y
производные в правых частях непосредственно получаются из уравнений баланса, включающих теперь и уравнение для приращения импульса, а остальные множители связаны с граничными условиями.
Соответствующая интегральная формулировка выводится так же, как в разд. 6.5. Запишем
Z= J pz dV, (6.29) УСЛОВИЯ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКОИ И ГИДРОДИНАМИЧЕСКОИ УСТОЙЧИВОСТИ 77
где величина z, определяемая уравнением (6.17), заменяет удельную энтропию S. Тогда, интегрируя (6.27) и (6.28), получим
S2Z < 0 (6.30)
И dtb2Z>0 (>0). (6.31)
Эти соотношения обобщают неравенства (6.13) и (6.12) соответственно на случай неравновесных процессов, включающих как диссипативные, так и конвективные эффекты. Следовательно, они представляют собой общее достаточное термодинамическое и гидродинамическое условие устойчивости (^0) или асимптотической устойчивости (>0). Мы воспользуемся этими неравенствами в следующей главе, чтобы получить конкретные критерии устойчивости для частных случаев.
Заметим также, что для покоящихся систем, находящихся в механическом равновесии, v,- = 0 и Z = S [согласно (6.17)]. И несмотря на это, б2Z, вообще говоря, отличается от o2S из-за флуктуаций скорости в СОСТОЯНИИ ПОКОЯ (бУг=7^=0).
6.8. Сравнение с кинетической теорией устойчивости
Мы уже убедились в простейшем случае, что термодинамические условия устойчивости в равновесии эквивалентны кинетическим (разд. 5.3). Мы хотим расширить этот вывод на более общий случай неравновесных стационарных состояний. Как и ранее, рассмотрим одну нормальную моду. Временное изменение величины бф тогда описывается равенством
д,0ф = <й6ф. (6.32)
Однако здесь частота ю содержит и действительную и мнимую части, как и в (2.70), поэтому необходимо ввести комплексные переменные в соответствии с методом, развитым в разд. 2.6. Из неравенства (6.27)
