Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гленсдроф П. -> "Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктруций" -> 27

Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктруций - Гленсдроф П.

Гленсдроф П., Пригожин И. Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктруций — М.: Мир, 1973. — 280 c.
Скачать (прямая ссылка): termodinamicheskayateoriyastrukturi1973.djvu
Предыдущая << 1 .. 21 22 23 24 25 26 < 27 > 28 29 30 31 32 33 .. 99 >> Следующая


Итак, можно сделать вывод, что неравенство (6.8) дает обобщение принципа Ле Шателье — Брауна, которое сводится к обычному виду вблизи равновесия. С другой стороны, обобщенный принцип Ле Шателье — Брауна, выражаемый неравенством (6.8), можно принять за основу теории устойчивости так же, как при выводе (6.7) можно основываться на использовании b2s или 82(ps) в качестве функций Ляпунова. Однако по причинам, изложенным в разд. 6.6, неравенства (6.7) более удобны и именно они будут использованы в последующих главах. Если можно показать, используя b2s в качестве функции Ляпунова, что система устойчива, то принцип Ле Шателье — Брауна будет выполняться автоматически.

6.5. Интегральные условия устойчивости

В общей теории устойчивости диссипативных процессов приходится иметь дело с граничными задачами, описываемыми дифференциальными уравнениями в частных производных. В частности, надо рассматривать изменение во времени возмущений б (ре), бру, ..., т. е. dzo(pe), <3,6pY, .... Последние описываются уравнениями баланса возмущенного движения и полностью приведены в гл. 7.

Ясно, что локальная формулировка условий устойчивости типа - (6.7) или (6.8) не годится в этом случае, так как теперь необходимо учесть граничные условия. Нужна интегральная формулировка. Поскольку определение устойчивости, принятое УСЛОВИЯ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКОИ И ГИДРОДИНАМИЧЕСКОИ УСТОЙЧИВОСТИ 73

в разд. 6.2, относится к фиксированной точке системы, то символ «точка», использованный в (6.7) для пространства состояний, здесь будет относиться к частной производной по времени ди вычисленной при постоянных значениях координат Xj. Символом б будем обозначать локальное изменение (6x^ = 0). Проинтегрируем теперь (6.7) по произвольной части V' полного объема системы V. Обозначая через S' соответствующую энтропию, получим

<^62S'>0 (>0) (*>*„), (6.11)

так как условие (6.7) должно выполняться в каждой точке V при всех t. Напротив, неравенство (6.11) должно быть справедливо для любого малого объема V', что предполагает справедливость (6.7) в результате непрерывности подынтегрального выражения. Применяя (6.11) ко всему объему V, получим достаточные условия устойчивости в интегральной форме

dto2S>0 (>0) (6.12)

и неравенство

б25 < 0 (6.13)

(ср. с (6.6)).

Подчеркнем, что здесь мы снова получаем два основных неравенства (5.12) и (5.15) теории устойчивости для равновесного состояния. Однако теперь содержание этих неравенств меняется. Если в случае равновесия все строится на неравенстве

(6.12), вытекающем из второго начала термодинамики, тогда как

(6.13) является условием устойчивости, то в неравновесном случае, наоборот, теория исходит из неравенства (6.13) (локальное равновесие), а условием устойчивости является (6.12).

Следовательно, в теории устойчивости диссипативных процессов система неравенств (6.12) и (6.13) в сочетании с равновесными соотношениями подчиняется своего рода принципу дополнительности.

6.6. Характеристические свойства функции 62S как функции Ляпунова

Как уже подчеркивалось в разд. 6.2, в качестве функций Ляпунова вместо 62s можно рассмотреть, по крайней мере в принципе, целый ряд знакоопределенных квадратичных форм, чтобы затем использовать их в теории устойчивости. Выясним основную причину, по которой выбор пал на функцию 62s. В системе соотношений (6.12) и (6.13) этот выбор совершенно логичен, так как он дает и равновесную и неравновесную теории устойчивости. И все же это само по себе не может служить достаточным оправданием.

Рассмотрим квадратичные выражения 62s и 62(ps) в переменных бе, OP, бЛ/у и б (ре), 6pY соответственно. По теореме Эйлера 74

- ГЛАВА 8

об однородных функциях второй степени имеем

if (и, V, W) = uf'a + vf'v + Wfw. (6.14)

Сравнение этого выражения с (2.56) и (2.61) показывает, что производные при постоянных коэффициентах можно записать в виде

J dtb2s = ЬТ'1 dt be + b{pT-l)dtbv —^biiiyT-1) dtmy> (6.15)

Y

4 <Э,62 (ps) = б (ре) - 5] 6(fiY:r!) dt брг (6.16)

Y

Из такой записи видно, что только временные производные в правых частях точно соответствуют величинам, которые даются уравнениями баланса массы и энергии возмущенного движения (уравнения баланса для приращений, гл. 7), а множители бГ-!, б(рТ~1) и 6(py^_1) непосредственно связаны с граничными условиями. Действительно, дифференциальные уравнения в частных производных, выведенные из этих уравнений баланса и феноменологических законов, содержат градиенты или этих величин, или величин, непосредственно с ними связанных (например, уравнение теплопроводности, уравнение диффузии).

Эти два свойства играют фундаментальную роль в общей теории устойчивости, которая детально изучается в следующей главе.

Однако с функциями, содержащими, члены типа б7с?(бГ или 8(ре)<Зг6(ре), было бы очень трудно оперировать в общей теории. В первом случае потому, что <3(8T не вытекает непосредственно из уравнений баланса, а во втором — потому, что 6(ре) не связана прямо с граничными условиями. По той же самой причине другие квадратичные формы, встречающиеся в (2.63), не могут быть выбраны в качестве функций Ляпунова, так как они приводят к очень громоздким выражениям, которые вряд ли могут быть полезны. Из этих же соображений мы не начали исследование устойчивости с обобщенного принципа Ле Шателье — Брауна (разд. 6.4). Чтобы оценить по достоинству эти замечания, необходимо прочесть сначала следующую главу, где выведены точные условия устойчивости. В конце концов, оказывается, что только 62S или o2(ps) и некоторые другие знакоопределенные функции, тесно связанные с этими выражениями *), представляют интерес в теории устойчивости. Вместе с тем и по физическому смыслу теория устойчивости должна исходить из свойств величины 82s. В самом деле эта величина по формуле Эйнштейна непосредственно связана со статистической макроскопической теорией флуктуаций (гл. 8). Таким образом, наш подход приводит
Предыдущая << 1 .. 21 22 23 24 25 26 < 27 > 28 29 30 31 32 33 .. 99 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed