Оптическая когерентность и статистика фотонов - Глаубер Р.
Скачать (прямая ссылка):
G(1)(r1; г2, т) = Г<1>(г1, r2, т) =
т
= lim 1 \ Е(_) (г1; и + т) Е(+) (г2, h) dtt. (2.7
Т-+оо ' J
Свойства усредненных по времени корреляционных функций для классических полей подробно обсуждаются в книге Борна и Вольфа1).
При рассмотрении этих вопросов в лекциях удобнее иметь в виду некоторые конкретные интерференционные опыты. Рассмотрим вкратце один из основных случаев интерференции, когда поле, падающее на детектор, является суперпозицией двух плоских волн. Будем предполагать, что волновые векторы двух плоских волн лишь незначительно отличаются друг от друга. (В качестве такого примера можно рассматривать интерференцию монохроматического света от двух составляющих двойной звезды.) Пусть частоты обеих волн равны, тогда
?(+)(r, t) = Ае1 (k-r-o>i>_j-Be1 (t'-r-coi). (2.8)
Спросим теперь, какого рода измерениями можно узнать, что мы принимаем излучение от двух источников, а не от одного?
Прежде чем ответить на этот вопрос, давайте точно выясним статистический характер коэффициентов Л и В, которые являются, конечно, частным случаем введенных выше коэффициентов Си-Предположим, что эти коэффициенты имеют независимые распределения вероятности; это значит, что функция вероятности р (А, В) распадается на множители
р(А, В) = р1(А) р2(В). (2.9)
Предположим далее, что распределения и р2 таковы, что фазы комплексных амплитуд А и В случайны, в таком случае {А ) = = {В) =0. Более того, средние значения различных степеней амплитуд и их комплексно сопряженных значений, т. е. (АВ*), <| А |М*5) и т. д. также равны нулю. Однако средние значения произведения амплитуд на их комплексно сопряженные значения положительны
(\А\2п)фО, {\В\2а)фО, п — 1, 2__________ (2.10)
Прибором, который может дать ответ на поставленный вопрос, является звездный интерферометр Майкельсона (фиг. 3). В самом деле, поле в точке Р в момент t представляет собой сумму двух полей, падающих на зеркала и М2 в один и тот же момент времени t' (если оптические пути МХР и М2Р равны). Каждое из этих двух полей можно записать в точках rt и г2 в виде (2.8), поэтому средняя интенсивность в точке Р будет равна
(Е(-} (г, t) Е(+) (г, 0) = 2 Re {< | А [2 + [ В |2) +
+ <| ^|2)eik'(ri-r2) + <iB|2)e-ik'-(ri-r2)}, (2.11)
г) Born М., Wolf Е., Principles of Optics, London, 1959, Ch. 10.
здесь мы воспользовались условием
(АВ*) = (А) (В*) = 0.
Если ввести функцию корреляции вида (2.4)
G(1)(r^', r2t') = (?(_> (г1Г)?(+>(г^')) = ([Л |2)e-ik <ч-г*> +
+ <| 5 |2) e-ik'‘(ri~r2), (2.12)
то интенсивность можно записать в виде
<?(-> (г, t)Ei+)(г, 0) = 2Re{(Hi2 + !B|2)+G(1)(r/, x2t’)}. (2.13)
Корреляционная функция, описывающая интерференционный эффект, не зависит от времени из-за стационарного характера рассматриваемого поля.
Фиг. 3
Из соотношения (2.12) видно, что корреляционная функция содержит два члена, осциллирующих прн изменении координат. Смещения от точки Р, при которых эти два члена могут усиливать или ослаблять друг друга, зависят от разности г± — г2. Если (| А |2) = (| В |2), то из выражения (2.11) получаем
<?(-) (г, t) Е{+) (г, t)) = 4 (| A j2) {1 + cos [ 1 (к + к') х
X (Г!~г2)] cos [у(к — к')-(г1 — г2)] }• (2.14)
Таким образом, интерференционная картина в фокусе телескопа представляет собой систему параллельных колец. Не останавливаясь
на подробном расчете этой системы, укажем лишь на одно характерное свойство интерференционной картины, следующее из выражения (2.14): она полностью исчезает, если разность г4 — г2 такова, что
cos [тг(к — к')-(г! — r2) J = 0. (2.15)
Наблюдая кольца, можно заключить, что имеем дело не с одним, а с двумя источниками; значения разности г4 — г2, при которой кольца исчезают, определяет угловое расстояние между источниками.
Интерферометр Майкельсона действительно использовался для измерения углового расстояния между двойными звездами, а также для измерения угловых диаметров звезд. Однако вследствие трудностей, присущих работе с большим интерферометром, этим способом было измерено лишь небольшое число звездных диаметров. Очевидно, что для такой системы требуется очень большая механическая точность; кроме того, интерференционную картину легко могут смазать случайные изменения коэффициента преломления вдоль оптического пути.
Приборы, полностью подобные звездному интерферометру Майкельсона, были использованы в радиоастрономии для определения угловых размеров звездных источников радиоизлучения. Они состояли из двух раздельных антенн, сигналы которых подавались на общую регистрирующую систему. В этом случае также трудно увеличить расстояние между антеннами, не внося случайной разности фаз на пути от антенны до детектора.
