Оптическая когерентность и статистика фотонов - Глаубер Р.
Скачать (прямая ссылка):
(1.1)
состояние должно соответствовать большому квантовому числу, которое точно не определено (Ап Дф > 1). Когда же приходится иметь дело с квантовыми состояниями электромагнитного поля, для которого фаза поля определяется точно, то эти состояния являются состояниями с принципиально неопределенным числом заполнения п. Вычисление ожидаемых значений с помощью /г-кван-товых состояний становится в таких случаях весьма затруднительным и неясным.
Один из математических приемов, примененных в этих лекциях, представляет собой использование совокупности квантовых состояний, с помощью которых удобнее описывать переменные амплитуды и фазы, чем с помощью /г-квантовых состояний. Такой подход делает значительно более ясной связь между классическим и квантовомеханическим формализмом.
2. Классическая теория излучения
Для того чтобы понять тесную связь между классической и квантовой теориями, рассмотрим вначале вкратце классическую теорию излучения. Будем описывать классическое поле с помощью обычных векторов электрического поля Е (г, t) и магнитного поля В (г, t), которые удовлетворяют уравнениям Максвелла для полей без источников:
V - Е = 0, VxE=-4§,
1 5Е (L2>
V - В = 0, VxB = if.
При этом мы предполагаем, что источник, излучив однажды эти поля, больше их не излучает.
Так как наши детекторы обычно реагируют на электрические, а не на магнитные поля, то ограничимся рассмотрением поля Е (г, t).
Во многих классических расчетах для выделения зависимости
напряженности поля от времени используют ряд или интеграл Фурье; напряженность поля распадается тогда на два комплексных слагаемых
E(r, 0 = E(+)(r, 0 + E(“V, t). (1.3)
Первый из этих членов Е<+\ который мы будем называть компонентой с положительной частотой, содержит все амплитуды напряженности поля, меняющиеся как е~ш для со > 0. Другой член — компонента с отрицательной частотой — содержит все амплитуды, меняющиеся как еш. Оба члена являются комплексно-сопряженными по отношению друг к другу
Е<-> = Е(+)* ^ (1.4)
и содержат эквивалентную физическую информацию. Они часто используются в классических расчетах и называются либо комплексной напряженностью поля, либо комплексным сигналом. Использование комплексных полей служит лишь удобным математическим приемом и не является физической необходимостью, так как классические измерительные приборы обычно реагируют только на реальное поле Е = 2 Re Е<±).
Квантовомеханические детекторы, как уже отмечалось выше, ведут себя иначе, чем классические, и разделение поля на компоненты с положительной и отрицательной частотами в этом случае имеет глубокий смысл. Как мы увидим позже, идеальный счетчик фотонов (счетчик, имеющий нулевые размеры и одинаковую чувствительность ко всем частотам) реагирует на произведение
Во всяком случае эту величину измерил бы детектор, если бы мы могли создать поле со строго фиксированной напряженностью. Однако реально мы не в состоянии управлять движением зарядов в источниках поля с произвольно большой точностью. Практически все поля излучаются зарядами, поведение которых в значительной степени не определено; поэтому поля, создаваемые ими, также являются статистически неопределенными. Все, что мы можем сделать — дать способ математического описания этой неопределенности.
При анализе случайных полей удобнее иметь дело с дискретным набором переменных, чем с непрерывным. Поэтому мы попытаемся описать поле в некотором объеме пространства с помощью дискретного набора ортогональных собственных функций. В качестве таких функций выберем систему векторных функций (иА(г)}, удовлетворяющих волновым уравнениям
и соответствующему набору граничных условий; при выполнении дополнительных условий
уравнения (1.5) определяют совокупность частот {со*}. Если эти функции образуют в рассматриваемом объеме полную ортонорми-рованную систему
E<_)(r, 0Е(+)(г, t) = |E(+)(r, t) |2.
(1.5)
V-uA(r) = 0
(1.6)
\ Uh (г)-ilk' (г) dr =
(1.7)
то вектор электрического поля можно выразить через эти функции следующим образом:
Е (г, 0=2 ChUh (Г) е-1^ + 2 см (г) eia>ht. (1.8)
h h
Две суммы в правой части представляют собой соответственно Е'+> и Е‘->.
При разложении по ортогональным модам поле, очевидно, полностью определяется набором комплексных фурье-амплитуд {Ch}. При описании случайных полей эти коэффициенты являются, вообще говоря, случайными переменными с некоторым распределением вероятностей р ({С*}) = р {Ci, С2, С3, . . .). Тогда при измерении некоторой функции от Е или Е<±> мы в лучшем случае можем предсказать ее среднее значение; так, например, для F (Е(+>) имеем
