Оптическая когерентность и статистика фотонов - Глаубер Р.
Скачать (прямая ссылка):
каноническим правилам коммутации [q, р\ — ih, можно определить обычным способом
Ч=(ш') (aT + a)’ (3.25а)
p = i(~yh {а^-а). (3.256)
Чтобы найти ожидаемые значения q и р в когерентных состояниях, достаточно воспользоваться уравнением (3.1), которое определяет эти состояния, и его эрмитово-сопряженной формой. После этого получаем
(а j q | а) = (^-)Va Re а, (3.26a)
(а j р | а) = (2йсо)1/2 Im а. (3.266)
Чтобы найти волновые функции когерентных состояний, запишем определяющее уравнение (3.1) в виде
(2?гсо)—1/2 (соq -f ip) j a) = a | a) (3.27)
и умножим скалярно обе его части на сопряженное состояние (q' |, которое соответствует собственному значению q' для q. Так как импульс можно представить дифференциальным оператором, т. е
(q'\p= -iK~{q'\,
то отсюда получаем, что волновая функция в координатном пространстве {q' | а) подчиняется дифференциальному уравнению
^ I а> = -2 (& )1Л [ (>)%' -“] <«' И' (3-28)
Данное уравнение можно проинтегрировать и получить решение для волновой функции, которая в нормированном виде дается следующим выражением:
{q' | a) = (JL у/4 g-[«»/2 W-a]*_ (3 29)
Аналогично можно получить и волновую функцию в пространстве импульсов. Если обе части уравнения (3.27) умножить скалярно на собственное состояние импульса {р' | и воспользоваться соотношением
то получим дифференциальное уравнение, нормированное решение которого имеет вид
(р' | a) = {nm)~Vie-^h^1/2P'+ia^. (3.30)
Обе волновые функции представляют собой волновую функцию основного состояния осциллятора, на которую подействовали оператором сдвига. Параметры (ft/co)1/2 и (йсо)1/г соответствуют амплитудам нулевых флуктуаций “координаты и импульса осциллятора единичной массы. Не следует удивляться тому, что волновые функ-
ции когерентных состояний имеют такую простую структуру, поскольку они получены из уравнения (3.13) с помощью сдвига в комплексной а-плоскости.
Не зависящие от времени состояния j а), которые рассматривались до сих пор: являются характерными состояниями для гейзенберговского представления квантовой механики. Для шредин-геровского же представления, наоборот, необходимо использовать зависящие от времени состояния exp (—iHt/h) |а). Если из гамильтониана осциллятора исключить энергию нулевых колебаний поля (^г)?!® и записать его в виде Н = ТшсРа, то, как легко видеть из разложения (3.7) для | а), соответствующие шредингеровские состояния принимают такой же вид, если а заменить на ае~ш. Следовательно, шредингеровское состояние можно записать как | ае~ш). Заменяя в соотношениях (3.26а) и (3.266) а на ае~ш, получаем, что ожидаемые значения координаты и импульса гармонически колеблются, причем амплитуда колебаний координаты равна (2й/со)г/2| a j. Аналогичная замена в волновых функциях (3.29) и (3.30) показывает, что гауссова плотность вероятности, характерная для основного состояния осциллятора, также обладает колебательным характером движения, как и ожидаемые значения. Такие волновые пакеты, конечно, давно известны; еще на заре развития квантовой механики они были введены Шредингером [5, 6] и часто использовались для иллюстрации предельного перехода от квантового осциллятора к классическому.
Волновые пакеты (3.29) и (3.30) в прошлом рассматривались также в связи с тем, что они особым образом локализуют координату q' и импульс р'. Конечно, можно построить такие волновые пакеты, которые значительно сильнее локализуют любую из переменных, но только за счет уменьшения локализации другой переменной. Волновые же пакеты (3,29) и (3.30) в некотором смысле представляют своеобразный компромисс; произведение неопределенностей переменных q' и р’ в этих волновых пакетах имеет минимальное значение. Если ожидаемые значения представить с помощью угловых скобок ( > и определить дисперсии
то при использовании волновых функций (3.29) и (3.30) найдем, что произведение этих дисперсий равно
В соответствии с принципом неопределенности это есть минимальное значение, которое может иметь данное произведение [7].Таким образом, в определенном смысле описание осциллятора с помощью
<Д qf = (q2) — (q)2, (Ар)2 = (р2) — (р)2,
(3.31а)
(3.316)
(Apf(Aqf = ^b2.
волновых функций (3.29) и (3.30) представляет наиболее близкое из возможных приближение к классической локализации переменных.
Использование когерентных состояний в квантовой электродинамике фактически не требует явного введения переменных координаты и импульса. Поэтому мы пересмотрели общеизвестные представления когерентных состояний с помощью этих переменных, надеясь, что они могут оказать некоторую помощь в понимании различных применений когерентных состояний, к рассмотрению которых мы вскоре перейдем.
