Оптическая когерентность и статистика фотонов - Глаубер Р.
Скачать (прямая ссылка):
Поэтому когерентные состояния осциллятора принимают вид
|о)=е-‘/я«|-2-^|п) (3.7)
п
И
(a| = e-V.i«i»2S-(n|. (3.8)
П
Эти выражения показывают, что среднее число заполнения п-го состояния дается распределением Пуассона со средним значением | a j2
!<п[ а>|2 = Щ%-№ (3.9)
Из них также следует, что когерентное состояние | а), соответствующее а = 0, является единственным основным состоянием осциллятора, т. е. состоянием | п) для п = 0.
В дальнейшем будет чрезвычайно полезен и другой подход к когерентным состояниям, которым мы тоже будем пользоваться. Для этого предположим, что существует унитарный оператор D, который действует как оператор смещения на амплитуды № и а. Допустим, что D является функцией комплексного параметра Р, и потребуем, чтобы действие этого оператора на операторы амплитуд сводилось к следующему:
D-4P)aD(P) = a + p, (3.10)
D"1(P)atJD(P) = at + p*. (3.11)
Тогда если | а) подчиняется уравнению (3.1), то D_1(P) | а) является собственным состоянием а, соответствующим собственному значению а —Р:
aD-1 ф) | а> = (а - Р) D-1 (Р) | а). (3.12)
В частности, если выбрать Р = а, то получим
aD'1 (а) ] а) = 0.
Так как основное состояние осциллятора однозначно определяется соотношением (2.14), то отсюда следует, что D^1 (а) | а) является как раз основным состоянием | 0). Другими словами, когерентные состояния представляют собой как раз основное состояние осциллятора, на которое подействовали оператором сдвига,
| а) = D (а) [ 0). (3.13)
Чтобы найти явный вид оператора сдвига D (а), рассмотрим бесконечно малые сдвиги в окрестности D (0) = 1. Для произвольных сдвигов da, как легко видеть из коммутационных соотношений (2.13), D (da), с точностью до первого порядка по da можно представить в виде
D (da) = 1 da — a da*. (3.14)
Для вывода дифференциального уравнения первого порядка для неизвестного оператора рассмотрим приращение а в виде da = = adX, где Я — действительный параметр. Тогда, если предположить, что оператор D обладает следующим свойством группового умножения:
D[a(X + dX)]=D(adX) D(aX), (3.15)
то мы получим дифференциальное уравнение
~D(aX) = (aa'—a*a)D(aX), (3.16)
решением которого, вычисленным для Л=1, является унитарный оператор
D( а) = eaat~a*a. (3.17)
Поэтому когерентные состояния | а) можно записать в виде
|a> = eaat-a*“|0>. (3.18)
Так как D (а) является унитарным оператором, то эти состояния удовлетворяют требуемым условиям нормировки.
Интересно рассмотреть связь между двумя полученными нами выражениями для когерентных состояний. Для этого вспомним простую теорему об умножении экспоненциальных функций от
операторов. Если и J? — произвольные операторы, коммутатор которых [<#, !%\ коммутирует с каждым из них
[[<#, 8], #] = [[#. Я], #1 = 0, (3.19)
то можно показать [4], что
еМе& _ eM+&+i/2[M, &] ш (3.20)
Если положить & = о+ и J5 = а, то на основании этой теоремы экспоненциальное выражение (3.17) для D(а) можно разложить на множители
Z) (а) = e-V2|a|2eaate-a*a_ (3-21)
Мы будем говорить, что произведение такого типа, в котором
операторы уничтожения стоят справа от операторов рождения, записано в нормальном виде. Удобство такой записи заключается в том, что применение экспоненциального выражения ехр (—а *а) к основному состоянию | 0) эквивалентно применению единичного оператора, так как экспоненциальное выражение можно разложить в ряд и использовать определение основного состояния в виде (2.14), поэтому
g—a*a | 0> == | 0>. (3.22)
Отсюда следует, что когерентные состояния можно записать в виде | a) = Z? (а) | 0) = e-1/2la|2eaot | д^ (3.23)
|а> = е-1^1а122“р|0>- (3-24)
П
А так как возбужденные состояния осциллятора есть
I л> = (л!)-1/я (art)» [ g>, то снова получаем выражение (3.7)
I а) = e-Vs/al2 У, ¦ a I п).
1 ^ («!) /2 П
С помощью этого выражения можно наглядно представить когерентные состояния, рассматривая их в координатном пространстве и в пространстве импульсов. Для координаты одномодового осциллятора и его импульса введем соответственно пару эрмитовых операторов <7 и р. Эти операторы, которые должны удовлетворять
