Оптическая когерентность и статистика фотонов - Глаубер Р.
Скачать (прямая ссылка):
торов:
[ah, ak'] = [al, a\,] = 0,
(2.13a)
[ak, а\,] = Ькк’. (2.136)
После того как произведено разделение динамических переменных, описывающих различные моды, можно приступить к рассмотрению квантовых состояний данной моды независимо от других мод. Состояние каждой моды можно описывать вектором состояния | )h в гильбертовом пространстве, соответствующем данной моде. Тогда состояния всего поля определяются в пространстве, являющемся произведением гильбертовых пространств всех мод.
Для рассмотрения квантовых состояний отдельных мод достаточно быть знакомым с элементарным описанием отдельного гармонического осциллятора. Гамильтониан
~ b(oh(alah + ahal)
имеет собственные значения %(?>h (tik + 1 /2), где nh есть целое число (nh = 0, 1,2...). Вектор основного состояния осциллятора будем записывать символом | )к, причем он определяется следующим условием:
flh|0)ft = 0. . (2.14)
Векторы возбужденных состояний осциллятора можно получить путем последовательного применения оператора а\ к вектору 1 0 >&. В нормированном виде эти состояния записываются как
= («ft = 0, 1,2 ...). (2.15)
(«*0 /2
Действие операторов ак и а? на эти состояния ясно из следующих соотношений:
аь\пк)к = п)(*\пк — 1)й, (2.16)
а1\пк) = (пк+ l)1/2\nk+l)k, (2.17)
a\ak\nh) =Пк\пк). (2.18)
Закончив небольшое вступление, мы можем теперь перейти к более детальному рассмотрению когерентных состояний поля. Положительно-частотная часть разложения векторного потенциала (2.10) является суммой, содержащей операторы уничтожения фотонов ak, в то время как отрицательно-частотная часть включает в себя операторы рождения фотонов ак- Таким образом, положительно-частотная часть оператора электрического поля в соответствии с (2.10)
дается следующим выражением:
E<+>(r0 = t 2 (г) (2.19)
й
Очевидно, что собственные значения % (г0, определяемые уравнением (2.2), так же как и оператор Е с+) (г?), должны удовлетворять уравнениям Максвелла. Поэтому их можно разложить по нормальным модам вида (2.19). Другими словами, можно ввести набор коэффициентов Фурье ак, являющихся с-числами, которые позволяют переписать собственные значения в виде
8 (г0 = (4*®0V2aftUft(r)e_itV- (2-20)
ft
Так как функции мод иА (г) образуют ортогональный набор, то отсюда следует, что собственное состояние поля | ) для всех мод k подчиняется следующей бесконечной последовательности соотношений:
ah l) = aA|>. (2.21)
Для нахождения состояний, которые удовлетворяют этим соотношениям, необходимо найти такие состояния отдельных мод | ak )k, которые подчиняются соотношениям
| c^ft)ft ~ I c^ft)ft* (2.22)
Тогда, как легко видеть, когерентные состояния поля | }, рассматриваемого как целое, представляют собой произведение отдель-
ных состояний | ah )
I )= П 1“^- (2.23)
к
3. Когерентные состояния одной моды
Несколько следующих разделов будет посвящено описанию одномодового осциллятора. Поэтому мы можем упростить систему обозначений, опустив индекс моды у вектора состояния, амплитудных параметров и операторов. Для нахождения состояния осциллятора | а), которое удовлетворяет уравнению
a |a) = a[a), (3.1)
умножим скалярно обе его части на п-е возбужденное состояние (п |. Использовав затем эрмитово-сопряженную форму соотношения (2.17) для скалярного произведения <п | а), находим следующее рекуррентное соотношение:
(п + 1)1/2 (п + 1 | a) = а (п j а). (3.2)
Из этого соотношения сразу же получаем
(",а) = '(57г(0,а>' (3'3)
Эти скалярные произведения являются коэффициентами разложения состояния | а) по полному ортонормированному набору
состояний \п) (п = 0, 1, 2 ...). Таким образом, имеем
|а> = 2 1 «> <« | а) = <° | а> 2 ^ (3'4)
П П
Следовательно, квадрат длины вектора j а) равен
<а [ а) — | <0 | a) j2 2 = | <0 | а) |* (3.5)
Если состояние | а) нормировано на единицу (т. е. (а]а) = 1), то его фазу можно определить следующим образом:
<0 | а> = е-1/*!»*!1. (3.6)
