Теоретическая физика и астрофизика - Гинзбург В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
9,1-2
ского излучения зайчика. будет пропорциональна Т. К тому же результату приводит следующая формальная процедура. Запишем
Теперь первый сомножитель разложим в интеграл Фурье
-j- OO
— оо
Из-за наличия в этом произведении дельта-функции мы можем показатель в экспоненте под интегралом положить равным нулю, в силу чего имеем
б2
где T—-полное время движения НИТИ И V = и/Ь\х — скорость источника (зайчика). Действуя таким образом, получаем для энергии, излученной в телесный угол dQ, = sin 0 dB dtp в интервале частот da за единицу времени, следующее выражение:
d(6, ф)
dt 2ясо 1
с I HJ2 Я2 sin OdO^dw =
Ub1
[Sb,
(с/и) b\у — Sy
(с/и) bUj + Sy
|2б — s*) sin 0 dQ dy den.
В результате наличия соответствующей дельта-функции отсюда ясно, что происходит излучение волн только с волновым вектором к, удовлетворяющим условию Sx = COS 0 = с/и = = cos Ooi, как это и должно быть. После интегрирования по О находим
dWa (ф) dt
Q2v
[sb,
[sb2
12
- [ dtp dсо,
2лш I. (с/и) b\y — Stj (с/и) b[y + Sy S = {cos 001, sin 001 COS ф, sin 001 sin ф}, bi = {sin xF, -cos*F, 0}, b2 = {sin 1F, cosW, 0},
COS 001 = — .
V ¦¦
sin ?
(9.17)
где Y — угол между скоростью частиц U II ОСЫО Л\ Наконец, получаем
dW dt
2Q2V с2 Я U2
л/2
X
A1S- U
О -я/2
{(1 - U2Iv2)2 - (1 - C2/у2) (1 - UiZc2V2) COS2 ф} [ (с2/«2) COS2 ? — (1 — C2Iv2) COS2 ф]2
(9.18)
<223 Заряд q, движущийся в однородной среде, как ясно из (6.61), излучал бы «на интервал» dco dcp с мощностью
(ф)
-г (1 — ^r) oxicpdcu,
dt 2л с2
где положено п = 1. Сравнивая это выражение с (9.17), мы видим, что нить эквивалентна заряду
Isb1] [sb2] I с 1
q=-Q
(cjii) bUJ - Sy (с/и) bUJ + Sy j (0 Vl- c2Iv
(9.19)
Поскольку Q есть заряд единицы длины нити, то множитель при Q в (9.19) представляет собой эффективную длину нити, ответственную за излучение в направлении к. Эта длина есть не что иное, как длина формирования переходного излучения в направлении к. Интегралы (9.17), (9.18) расходятся при со —>- 0, что просто связано с предположением о бесконечной протяженности нити. Мощность излучения падает с ростом со, очевидно, в силу происходящего при этом уменьшения длины формирования переходного излучения. В других задачах аналогичного типа частотная зависимость может быть иной (см. ниже).
Как отмечалось, механизмом излучения отдельных частиц или нити как целого при пересечении границы проводника можно считать переходное излучение. Однако с таким же успехом (и конечным результатом) можно предполагать, что происходит тормозное излучение в результате мгновенной остановки зарядов и их изображений на границе (в случае идеального проводника обе эти возможности неразличимы при вычислении поля в вакууме; см. гл. 8). Вообще, механизм «элементарного акта» излучения, приводящего в конечном счете к черенковскому эффекту, в известном отношении несуществен — характер черенковского излучения (в первую очередь речь идет об условии cos Во = c/un((?)) определяется интерференцией волн, испускаемых вдоль пути источника. Сказанное находится, разумеется, в полном соответствии с принципом Гюйгенса. Таким образом, рассмотренное излучение заряженной нити, падающей на экран, представляет собой именно эффект Вавилова — Черенкова при V > с и к тому же возникающий в вакууме (правда, наличие какой-то границы со средой здесь необходимо)*). Интенсивность излучения и его угловое распределение по ср будут изменяться в зависимости от свойств сред 1 и 2 (разумеется, для наблюдения черенковского излучения по крайней мере одна из этих сред должна быть прозрачной; выше среду 1 мы считали вакуумом). Для анизотропной среды в условии (6.56) показатель преломления «(со) нужно брать для каждой нормальной волны в отдельности, причем значение п зависит также от
*) Впрочем, роль такой границы может играть поле, возмущающее движение заряда (для этого, физически экран нужно заменить тонким заряженным конденсатором и т. п.).
224 углой д осями симметрии (осями кристалла, направлением внешнего магнитного поля и т. д.). Особо отметим излучение волн в волноводах. В общем, здесь возникает большое число задач, аналогичных тем, которые встречаются в теории черенковского излучения при V < с. Очевидно также, что рассматриваемые источники (зайчики) излучают и в досветовом режиме, т. е. когда с/п <»<с. Такие источники представляют интерес и при рассмотрении возбуждения, например, поверхностных волн разных типов в результате эффекта Вавилова — Черенкова Или переходного излучения на неоднородной поверхности (в последнем случае требование v>c/n, конечно, отпадает). Сказанное справедливо и в случае волн неэлектромагнитной природы; в качестве примера укажем на возможность генерации второго звука в гелии II движущимся источником (скажем, движущимся по поверхности гелия лучом лазера).
Излучение сверхсветового источника ни в коей мере не сводится к эффекту Вавилова — Черенкова. Так, уже при равномерном движении, но с «модуляцией» источника некоторой частотой соо будет наблюдаться излучение с доплеровской частотой
