Теоретическая физика и астрофизика - Гинзбург В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Очевидно, при F = 1 эта формула переходит в выражение (6.61) для однородной среды. Фактор F(со, ...) учитывает влияние границы, размер источника и т. д. Из общих соображений можно думать, что и для сверхсветового источника с v > с применима та же формула, причем F = F(a,W,d ...), а также зависит от распределения заряда в вакууме*). Конкретизировать вид фактора F можно лишь в результате точного расчета, а также, конечно, использования вполне определенной модели источника. Это будет сделано ниже. Сейчас же заметим, что в любом случае интегрирование в (9.14) проводится по области частот, удовлетворяющих черенковскому условию (6.56). При этом в вакууме, разумеется, нужно положить п = 1 (выше предполагалось, что среда граничит с вакуумом). Поэтому при V > с в вакууме (над средой) излучение возникает всегда, если
*) Точнее было бы записать правую часть выражения (9.14) в виде суммы двух членов -
где первый член отвечает мощности излучения в вакууме, а второй член — мощности излучения в среде. Однако до тех пор, пока фактор f не конкретизируется, выражение (9.14) носит символический характер и поэтому может быть сохранено.
(9.14)
220 только F Ф 0. Практически же фактор F заведомо должен быть весьма мал для волн с длиной Х = 2лс/со, меньшей проекции размеров зайчика на направление волнового вектора k. В среде при о>си n((o)> 1 ситуация такая же, но при п( со) < 1 роль обрезающего фактора может играть также условие v > Vф = = с/п — излучение в среде возможно только при его соблюдении. В общем случае можно также утверждать, что излучение характеризуется углом O0i = arccos (c/v) в вакууме и углом 002 = arccos (с/п(а) v) в среде (угол 0 есть угол между к и v; рис. 9.7). Поскольку скорость переднего фронта электромагнитных волн в
любой среде при учете / " -Boi
дисперсии равна с, излу- вакуум to =arzcos. чение сверхсветового ИС- imnii.iiityniiiin
точника в среде характе- Среда \&o2=arccosnv ^
ризуется не только уг- 4 ^^ 9 01
ЛОМ 002, но и углом 001 = = arccos(с/и), который в этом случае определяет раствор конуса, соответ- Рис. 9.7. Черенковское излучение зайчика, ствующего переднему
фронту волны. Таким образом, при 0 > 0Оі поле в среде равно нулю. Если говорить об основной части излучения, а не о переднем фронте, то аналогичная ситуация имеет место и для эффекта Вавилова — Черенкова в диспергирующей среде, где группо-
rfco / d (соя) ,
вая скорость игр = = с/—J^l- меньше фазовой скорости
Оф = с/п. Здесь нет поэтому особой необходимости специально обсуждать эту сторону проблемы (см. [149]).
Остановимся теперь на точном решении задачи о падении нити на идеально проводящую плоскость. Геометрия задачи такая же, как на рис. 9.6, но среда с показателем преломления п(а>) заменена идеальным проводником. Попадая на проводник (пересекая его границу), заряд для внешнего наблюдателя исчезает, т. е. если говорить о механизме излучения, то мы имеем дело с переходным излучением; нас, однако, интересует результат интерференции такого излучения от движущейся нити, причем заранее известно, что результирующее излучение будет па-правлено под углом 001 = arccos (c/v). Поле нити в вакууме представляет собой сумму полей самой нити и ее изображения, т. е. генерируется током с плотностью
j = (26(2)(11^11--^)}, у> о,
j = - Q6(2)u26(b2r-U/), у< 0. (9.15)
Здесь Q — заряд единицы длины нити, ui = иЪ\ и U2 = иЬ2— скорости нити и ее изображения (b\ = b2 = 1, b\x = b2x, b\y = = —b2y, biz = b2г =0; нить лежит в плоскости X, у и для про-
221 стоты считается бесконечно тонкой). Кроме того, в (9.15) нужно, разумеется, считать первое слагаемое отличным от нуля в вакууме, а второе — в металле. Компонента Фурье плотности тока равна
jexp(m/)d/= f-b,r) — b2exp (/ b2r)j.
На больших расстояниях от экрана для фурье-компоненты векторного потенциала имеем
Аш = J Jw (г') ехр (- /kr') dt' =
_ . Q ехр (ikR) f_b,___b2 ) . ( О) , _ , \
cR 1 (©/и) biy-ky (со/«) b2y-ky]°\u °lx Rx)'
(9.16)
где k=(w/c)s = fts— волновой вектор излучаемой волны (очевидно, S2 = 1, k = со/с). Далее, легко найти магнитное поле Нш = і [кАш], а затем интеграл
-f- OO -{-оо -{-ОО -fco
5 Hi dt = \ dt 5 du 5 dfl>'HBHa< ехр [/ (со + со')/] =
— OO — OO — OO — OO
-J-OO OO
= V2C 5 d(? J do/HaHa'6 (ей + ©') =
— СО — OO
-{-оо OO
= V2C 5 IHfflI2Cfffl = Cj IHfflI2Jco.
-OO О
Будем считать ось х, по которой бежит зайчик, полярной осью, и пусть волновой вектор излучения к = (со/с) S составляет
с полярной осью угол 0; азимутальный угол обозначим через ср (рис. 9.8), причем в вакууме — '/г^^ср^
Из формулы (9.16) видно, что Ac пропорционально дельта-функции от аргумента (с o/u)blx — kx. Очевидно, что и магнитное ноле Нм будет пропорционально дельта-функции, а энергия излучения — квадрату дельта-функции. Интеграл от квадрата дельта-функции расходится, что указывает на бесконечную энергию излучения. Эта бесконечность физически легко объяснима — мы считаем, что нить пересекает экран в течение бесконечно большого времени. Чтобы получить конечный результат, можно рассмотреть движение нити в течение большого, хотя и конечного времени Т. Очевидно, энергия излучения
