Теоретическая физика и астрофизика - Гинзбург В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
В общем случае при рассмотрении переходного рассеяния плотность тока j" можно считать заданной (для заряда — равной (8.3)) и использовать уравнения Максвелла (8.2) с некоторой периодической диэлектрической проницаемостью. При этом удобно все величины разлагать в полные интегралы Фурье по времени и по пространству
E = Jj Eki ю ехр [г (kr — со/)] dk da; }" = ^ ю ехр [і (kr — со/)] dk Ao
(8.110)
и т. д. Для среды с проницаемостью (8.103) связь индукции D — єЕ с электрическим полем E (простоты ради здесь положено фо = 0, сечение рассеяния от ф0 не зависит) для компонент Фурье принимает вид
Dk,ro = 8<0)(to)Ek,ro + ^r8<1>(co)(Ek+kj,ro+a - Ek-ka> „,-J. (8.111)
Для проницаемости (8.103) величины є(0) и є(1), разумеется, от частоты не зависят, однако в общем случае є(,) может зависеть как от со и к, так и от со0 и к0 (см. [946] и конец гл. 15). Точно так же при учете пространственной дисперсии є(0) зависит не только от со, но и от к. Чтобы не усложнять изложение, MbI рассмотрим здесь простейший случай, когда є(1) и є(0) зависят только от (о. Далее, в случае (8.3) имеем
Уравнения (8.2) приобретают тогда вид
[kBk, J= - T со-~ H J = T К со- (8-113)
Отсюда с учетом (8.111) получаем
( со2 \ iniaqv.
[k%! - ktkj - е(°) (со) 6И) Ei, к. = б (со - (M) +
CO2
+ -2І~2 є<1) (м) (El, k+kj. ш+ш^ — Ei, k-k„ (O-O)J- (8.114)
203 Будем считать, что є(1)(со)<?; s(0)(to), и рассматривать последний член (8.114) как возмущение; тогда при є(1>(®)^-0 получим поле равномерно движущегося заряда как сумму поперечного и продольного (по отношению к вектору к) полей
Е2.в =EZ1^EZ1lLrt, (8.115)
где
e^ и = - ,о ^MO, , , 5 - kv) == к. Л - (8-116) (2л) k"ey' (со)
с? «г) ......... 4я/<?м (о, - ^ (ку)/й») 6 (м - kv) __ntr
?(, к, м— з 2/,2 2(0)/ 4,2-1 —Ui/, к, м//, к, ю- \ /
(2гт) С (k — СО Є (<й)/с )
Здесь введены функции Грина для продольного G1iliUia и поперечного Gf/, к, и полей. Они равны
, 4niktk, ir _/ ^fe/\
cr^ к-®- COfeV0' (СО) ' A2 J
4лг'со
с2(й2_т2е(0) (ш)/с2)-(8.118)
Рассеянные волны будем для конкретности считать поперечными. Тогда их поле определится из (8.114) в следующем приближении (подставляем в член, содержащий є(1), поле (8.115)):
(,2 CO2 (0), Л рА> -0)/,.4 Гр</ P <7
--^re (CO)Jbklft, —[bk+ko, И+ю — tk-k , (o-toj —
—(kEk+k0l м+мз) + -j2 (kEk-ko, co-(oj)] • (8.119)
Здесь уместно остановиться на одной особенности членов, входящих в правую часть (8.119), которая в данном случае служит как бы эффективным источником (током), возбуждающим рассеянную волну. Этот ток ортогонален к и может показаться, что только поперечное поле заряда — поле (8.117), будет вносить свой вклад в поле Ek1'а*- В действительности, однако, в (8.119) входят поля Ekik1, (0±(0 т. е. для этих полей индексы I и tr в (8.116), (8.117) указывают на продольность или поперечность поля по отношению к вектору k ± к0, а не к к. Поэтому, если только ко ф 0, то нужно учитывать как продольное, так и поперечное поля. Более того, легко видеть, что поперечная компонента (8.117) при v->0 стремится к нулю и для покоящегося заряда основным будет продольное поле (8116). Далее, из сравнения (8.116) с (8.1IJZJ следует, что продольное поле будет
основным и при v «С — —~—. с т. е. при скоростях
соє (со) Vem(CO) частиц, много меньших скорости света в среде, а значит, при є(0>(сі>);>1 для любых нерелятивистских частиц. Впрочем, это
204 утверждение не очень точно, поскольку при к о-+О, V Ф 0 становится существенным уже поперечное поле (8.117) и, следовательно, оно играет роль и при достаточно малых k0. Строго говоря, вывод о преимущественной роли продольного или поперечного поля может быть получен только при сравнении окончательных выражений для сечений рассеяния.
Частоты и і (Оо и волновые векторы к ± ко для функции Грина G1iii k ± kj, ю ± ю, н G;/, к ± к,, ю ± Mj чаще всего не соответствуют волнам, которые могут распространяться в среде, поэтому поля с такими частотами и волновыми векторами называют виртуальными. Рассеяние при учете продольного поля частицы Е"(г) часто называют поэтому рассеянием через виртуальную продольную волну, а при учете E4(-tr~> — рассеянием через виртуальную поперечную волну (или, на квантовом языке, виртуальный поперечный фотон). Такие названия связываются также с диаграммным изображением переходного рассеяния (рис. 8.5). Кружок на рис. 8.5 соответствует взаимодействию
Рис. 8.5. Графическое изображение процесса переходного рассеяния.
р и р' — импульсы частицы до и после рассеяния; при переходном рассеянии на частице с массой M оо импульсы р и р' всегда можно считать одинаковыми.
трех волн, описываемому константой (вершиной) є(1). Разумеется, при v = const (масса частицы М->-оо) импульсы р и р' можно считать одинаковыми.
Ниже рассмотрим лишь один предельный случай — случай нерелятивистской частицы, когда основную роль играет рассеяние через виртуальную продольную волну. Случай ультрарелятивистской частицы, когда наиболее существенно рассеяние через виртуальную поперечную волну, освещен в [94].
