Теоретическая физика и астрофизика - Гинзбург В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Длину зоны формирования можно оценить следующим образом. Необходимо найти ту длину L = Lf вдоль траектории источника, которую последний должен пройти для того, чтобы полная энергия поля E17-I-Er (пропорциональная (Eq -j- Er) 2) стала практически равной сумме энергий поля Е? (пропорциональной [Eq)2) и поля излучения Er (пропорциональной (Er)2), т. е. поле, увлекаемое частицей, и поле излучения оказались бы отделены друг от друга. Другими словами, должен быть малым (по крайней мере в среднем) интерференционный член, пропорциональный Е'Е*. Поскольку согласно (8.12) E4 сс ехр (г z) , а согласно (8.13)
Er оо ехр [±г Y Z д/є - ], интерференционный член мал при условии
Точнее, при этом условии интерференционный член быстро осциллирует и мал в среднем по пространству, В силу сказанного
188 длину Lf можно определить так:
Lf ~ I a/v ± ((о/с) Ve2,! - X2C1Vw2 I ' ^8'74^
Знаки ± отвечают зонам формирования соответственно в средах 1 или 2 (частица летит из среды 1 в среду 2). В случае резкого изменения характеристик среды во времени собственное поле заряда пропорционально ехр(—-t(kv)tf). тогда как поле излучения пропорционально ехр {+i(kcjл/г) t) (см. (8.56), (8.57)) и интерференционный член между ними в выражении для энергии поля становится малым (быстро осциллирует) при
kc
kv :
Соответственно полагаем
V е
t > 2л. (8.75)
"- U,ЛитГ <8'76>
Учитывая, что в (8.74) х2с2/ш2е2 = sin2 0 и /гс/д/^г = ш, для излучения вперед получаем
Lf = Vtf = -.-J=J^--г. (8.77)
I (о — Ve2 (v/c) (о cos 8 I
Для ультрарелятивистской частицы, полагая л/е2 1 — сор/2со2, имеем
4л с 1
Lf *** ~ "(б2 + (сор/со)2 + (Mcytf)2) ¦ (8-78)
Если считать, что 8 да Mc2/&, то для со <С соР<о/Мс2 длина зоны формирования растет с ростом частоты Lf 4яссо/со2 и при
частотах порядка сор&/Мс2, соответствующих максимуму функции W^(Cd)CO, достигает максимальной величины
В определении размеров зоны формирования Lf имеется, конечно, известная условность. Так, часто в качестве Lf выбирается значение вдвое меньшее, чем используемое нами. Более важно, что, согласно (8.74), (8.77), длина Lf-+ 0 при (т. е. для покоящегося заряда). Между тем понятие об отличной от нуля длине зоны формирования имеет известный смысл и для неподвижного излучателя — в этом случае (в простейших ситуациях)
г 2л с .
Lf ~ - = А.
' COrt
Так, для черенковского излучения заряда, как мы видели в гл. 7, влияние канала или щели определяется как раз отношением а/К, где а — радиус канала или ширина щели (при
189 а/\ < 1 наличие канала или щели интенсивности излучения практически не изменяет). Можно, таким образом, сказать, что зона формирования в этом случае порядка к. Но по смыслу здесь все же речь идет не о той зоне формирования, которую мы ввели выше как некоторое существенное для формирования излучения расстояние, проходимое источником вдоль его траектории. Ниже зона формирования упоминается именно в последнем смысле.
Ряд замечаний о понятии зоны формирования (в частности, в историческом плане) можно найти в [8, 14, 95]. Ввиду важности вопроса мы, однако, и здесь приведем еще один вывод выражения (8.77). Именно, чтобы найти длину зоны формирования Lf в случае источника, движущегося со скоростью v и излучающего волны под углом Bkv, обратимся к рис. 8.3. Пусть в момент / = O источник находится в точке А и фаза волны, излучаемой им в направлении к, равна фл. Длину зоны формирования Lf определим как такое расстояние вдоль траектории источника (расстояние между точками А и В), при котором фаза волн срв, излучаемых в точке В в том же направлении к, отличается на 2л от фазы фл волн, излученных в точке А. Тогда
Lf
Lf-Vt
t'O
Рис. 8.3. К определению зоны формирования L^.
I Фл откуда Lf =
= I kLf cos 6 — со/1 =
UU(t J л
— Lr cos H — co-
C V
= 2п,
2 я V
(otijс) X
со I 1 — (v/c) п (со) COS 0 I
I 1 — (v/c) п (со) COS 0 I
2л k
2л с поз
(8.80)
Разумеется, для черенковского угла Во = arccos (с/ли) волны, излучаемые вдоль траектории, находятся в фазе, и поэтому излучаемая энергия пропорциональна длине траектории L (и формально бесконечна при L-*- сю, как предполагается при пренебрежении излучением в начале и конце пути). В применении к переходному излучению размер зоны формирования играет роль размера тех областей, которые ответственны за излучение. Разумеется, выражение (8.80) по существу совпадает с (8.77), поскольку для прозрачной среды 2 как раз п=-^г2.
Из приведенного вывода особенно, быть может, ясна отмеченная условность введения разности фаз 2л вместо, скажем, л. Пожалуй, использование разности фаз, равной я, даже естественнее, но все количественные результаты не зависят, конечно, от определения Lf.,
190 Как мы видим из (8.79), величина Lfimas растет пропорционально энергии частицы &. Критерий резкости границы Дг <С Lf для переходного излучения при пролете заряда через границу раздела сред, так же как и критерий резкости скачка диэлектрической проницаемости во времени At tf, оказываются, следовательно, выполненными тем лучше, чем выше энергия частицы. Практически для обычных плотностей, отвечающих плотности твердого тела, частота Wi0 соответствует примерно значению "к/2л = с/сор « IO-6 см и при большой энергии частицы длина Lf будет вполне макроскопической величиной. Так, для примера, при максимальной зафиксированной энергии космических лучей около'IT ~ IO20 эВ, если эту энергию приписать протону (для чего, впрочем, еще нет достаточных оснований), получим Lf ~ 10 км. Этот пример явно экзотический, но приведен он для того, чтобы подчеркнуть и другую сторону дела. Именно, если речь идет о пластинке конечной толщины, то для образования вполне сформировавшегося переходного излучения необходимо, чтобы ее толщина была не меньше (8.79). Последнее существенно, например, для возможности возникновения переходного излучения космических лучей на межзвездной пыли (обычный размер пылинок порядка Ю-3—10~4 см). Из (8.79) видно, что высокоэнергичные космические лучи заметного переходного излучения на пыли создавать не могут.
