Теоретическая физика и астрофизика - Гинзбург В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Будем считать простоты ради, что среда изотропна и характеризуется значением диэлектрической проницаемости є, которая в момент ^ = O скачком меняется от значения єі до значения 62- (Изменения такого типа можно создать, например, путем резкого изменения давления в среде.) В среде имеется заряд q, движущийся с постоянной скоростью v. Исходными служат те же уравнения Максвелла (8.2) с плотностью тока (8.3). В силу того, что рассматриваемая задача полностью пространственно однородна, удобно все величины разлагать по пространственным компонентам Фурье
Г (Г ,t)=\)l(t)eikrdk, Е(г,()=\Ек(()елЫк, )
г (8-47)
В (г, /)= J Bk (Oeikr dk. J
Для плотности тока имеем
Jk'(0 = ^gr ехр [-/(kv)/]. (8.48)
Уравнения Максвелла (8.2) запишутся в виде
№ (0-k(kEk (/))+ Д- g EEk (0 = ехр [-/ (kv) 0, )
авь(о К49)
-^ = -HkEk(Z)]- J
Необходимо решить уравнения (8.49) для / С 0 и t > 0 и сшить решения при / = 0. Условия сшивки непосредственно следуют
183 из уравнений Максвелла (8.2), а именно*)
єіЕк, і (0) = є2Ек, 2 (0); Bkll(O) = Bki2(O). (8.50)
В данном случае удобно проектировать уравнение (8.49) на направление, перпендикулярное к. Это связано с тем, что задача пространственно симметрична, а поля в изотропной среде естественно разделяются на продольные и поперечные относительно вектора к. Однако продольное поле в силу непрерывности индукции не излучает. Уравнение для поперечной к вектору к составляющей (компоненты) поля Ek (t)
El' (O = Ek (0-^1?^- (8.51)
имеет вид
? tr , , 1 д2 tr 4яг> (kv) Vbr
k2E{r (t) + ^ ж еЕІг (і) = cy(J)3k ехр [- і (kv) /], (8.52)
Здесь мы использовали индекс tr для обозначения поперечных компонент по отношению к к, чтобы отличить их от компонент, перпендикулярных скорости заряда, которые снабжают индексом _L. Уравнение (8.52) осталось векторным. Однако можно получить одно уравнение для скалярной величины, если учесть, что в однородной среде обе линейные поляризации поперечного поля независимы, и, следовательно, поляризация, для которой Ekr направлено по vkr, не зависит от поляризации, перпендикулярной Vk". Для последней получим однородное уравнение без источника и, следовательно, можем заключить, что излучение с такой поляризацией не будет возбуждаться зарядом. Другими словами, возникающее излучение поляризовано в плоскости, в которой лежат векторы v и к (аналогичная ситуация имеет место для черенковского излучения и понятна уже по соображениям симметрии). Таким образом, не нарушая общности, можно считать, что
E\[(t) = Ek(t)-^. (8.53)
и задача сводится к одному уравнению для E^ (t)
к*Ек Ц)+ -УеЕь (t) = ехр [- і (kv) і]. (8.54)
*) Для получения условий (8.50) нужно, очевидно, проинтегрировать уравнение (8.2) по времени по области скачка — между моментами t\ = — bt и t-г = 6t, а затем устремить длительность скачка 26/ к нулю. При этом величины rot Н, rot Enj' считаются конечными, что, вообще говоря, и имеет место.
184 Его решение равно сумме решений неоднородного уравнения (поля частицы Eq) и однородного уравнения (поля излучения Er)
?k(0 = ?Z(') + ?k(0. (8.55)
причем
рч (Л _ 4niIV (bv) exP [— ' (kv) t\ /о
4 О - W (- TT') + - «р (' TT 0)' ,8'57>
Если є является функцией частоты є = є(со), то в (8.56) фигурирует e = e(kv). Комплексные коэффициенты а+ и а_ описывают амплитуды двух волн, распространяющихся в противоположных направлениях по к (амплитуда а+(к)) и против к (амплитуда а_(к)). При t <. О поле излучения отсутствует, а при t > 0 сразу возникают две волны. Магнитное поле находится из (8.49) oBt (t) ic
_JL^ = __[kv ]Ek(t), (8.58)
Rq (A _ 4jtiI [ky] exP t~ ' ^kv) fI /Q CQ\
Dk ~ C (2it)3 (k2 - є (kv)2 /с2) '
BE W _ (0+ exp (-, - ЄХР (?,)).,8.60,
Граничные (начальные) условия (8.50) сразу дают
в jkv (kv)/c2 __ e2kv (kv)/c2 . ',„ X „ \ /о кп
fe2 - (kv)2 e,/c2 — k2 - (kv)2 e2/c2 + 62 ^a+ + a~>•
k?v / с k?v! с /—
k2 - (kv)2 S1Zc2 = k2 - (kv) e2/c2 + Ve2 (a+ - a_). (8.62)
Здесь надо иметь в виду, что, вообще говоря, а+(к) и а_(—к) описывают одну и ту же волну, так как в силу вещественности поля ЕЛ(г, /) и определения а+ и а_ (см. (8.57))
(_ k) = - а*+ (к). (8.63)
Именно (8.63) и указывает на то, что для заданного к амплитуда описывает волну, распространяющуюся в противоположном к направлении. Соотношение (8.61) особенно просто использовать для вывода, касающегося излучения ультрарелятивистской частицы с (Mc2ZS)2 <С 1 под малым углом 92 <к. 1 к скорости частицы v, в условиях, когда 1— є» (0p/t02<C 1.Тогда (8.61), (8.62) сразу приводят к соотношениям
Є2 + {(йрі/kc)2 + (Me2)2Iff2 = Є2 + (сOp2Ike)2 + (Me2)2IS2 + а+ M + а-00>
(8.64)
е2 + ((OniJke)2 + (Mc2)2IS2 = 62 + ((On2Ike)2 + (Me2)2IS2 + а+ ^ ~~
(8.65)
185 Они фактически сводятся к уже обсуждавшимся выражениям (8.21), (8.22) для переходного излучения ультрарелятивистской частицы на границе раздела сред. В этом можно убедиться, если учесть, что в силу І є—1| <С 1, со « kc амплитуда а+(к) соответствует Go, а а _ (к) = — oV (— к) соответствует —а\. Отсюда ясно, что для ультрарелятивистской частицы излучение назад будет малым, а излучение вперед сходно с излучением, возникающим при пересечении границы раздела сред.
