Теоретическая физика и астрофизика - Гинзбург В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
|El2|2 = ^(e2-4?-)|??|2, (8.28)
где учтена также коллинеарность векторов Е± и и, обусловленная аксиальной симметрией задачи.
Подставим теперь в (8.27) разложения (8.4) с учетом (8.28) и проведем интегрирование по dz, dr±, da' и cht' с использованием хорошо известных формул
-}-оо -}-оо
б (jc) = ^- ^ еШх da = ~ jj e~iaxda (8.29)
<Р W 6 (/ (х) — у) dx = [-щщт\ • (8.30)
\df/dx\JfM=y В результате имеем
WS
OO
л 2 I J УС^С^
2 = ^ S ITdae* V62—^H a^i2- (8-31>
О
Удобно ввести угол O2 между к и v (частица по нормали переходит из среды 1 в среду 2), причем sin2 O2 = -K2C2Za2B2. Тогда для излучения вперед (в среду 2), учитывая (8.24), получим
OO я/2
W* = 5 da j 2зх sin 02 do2 W§ (со, Є2), (8.32)
о о
W«(со, 02) = -gj- V^ cos2 O2 sin2 O21 є2 - Єі |2 X
X
(і--~3~82--V8I — е2 Sin2 62 ^
--е2 COS2 B2^l-у VeI — е2 Sin2B2 ^e1 COs62 + Vs2(8i—е2 sin2 B2) ^
(8.33)
Стоит сказать несколько слов об областях, соответствующих волнам, испытывающим полное внутреннее отражение в среде 2, когда Ve2 — X2C2Ja2 принимает комплексное (мнимое) значение. Можно показать, что такие волны не вносят вклада в W2,
177 и, таким образом, в (8.32) фактически фигурируют только распространяющиеся волны. Физически это заключение совершенно прозрачно, так как при >-оо поле излучения практически отошло от границы и волны, испытывающие полное внутреннее отражение, не дают вклада в излучение. Последнее не означает, что в излучении, распространяющемся от границы, нет таких волн, которые при изменении к на —к (т. е. обращении направления распространения) не испытывали бы на границе полного внутреннего отражения. Такие волны соответствуют условию Єї — є2 sin2 B2 = ei cos2 6і < О (используем закон преломления ei sin2 8 = е2 sin2 B2). Этим волнам в (8.33) соответствует мнимое значение VeI-^sin2B2, а при расчете интенсивности с помощью (8.33) нужно взять квадрат модуля получающегося комплексного выражения, что и указано в (8.33).
Аналогичным образом находится энергия, излучаемая назад (в среду I)
OO я/2
Wi = J d(u J 2л sin е, dQi Wi (со, Q1), (8.34)
о о
где Bi — угол между к и —v,
(со, Bi) = sin2 Єї cos2 Є, уёГ|е2 — 8l f X
— -^r є, + у Ve2 — Єї sin2 9,)
X
Єї COS201 Ve2-Є, Sin2Bi )(є2 COS 01 + Vsi (S2-e, Sin2 6,) )
(8.35)
В составе излучения назад также присутствуют волны, которые в среде 2 не распространяются (є2 — ei sin2 8i < 0).
В случае ультрарелятивистских энергий для излучения вперед можно получить результат не только из (8.33), но и сразу, используя (8.23):
OO
И7* M = "ST і В de {02+(сйрі/со)2+(Мс2/<У)2 - е2+(соР;/оз)2+(Мс2/«)2} •
(8.36)
Если частица влетает в среду с E2 = E из вакуума (єі = 1), то формула (8.35) дает результат, полученный в [129] для излучения назад (индекс 1 у Bi опускаем).
Wf (со, В) =
qV sin20 cos2 9 I (е- 1) (\ --?-+ -Ve- sin20 ) f
--!-—-------Ll-(8.37)
Jt2C3 (1—^2 COS2 б) (і+у Ve-Sin2B ) (є cosB + Ve-sin2 в)
178 Естественно, что для получения выражения для энергии излучения при вылете частицы из среды в вакуум можно воспользоваться формулой (8.37), заменив v на —v. Тот же результат ПОЛУЧИТСЯ, ЄСЛИ В (8.33) ПОЛОЖИТЬ Єї = Є, Є2 = 1.
Остановимся на простейшем и в то же время важном частном случае, когда среду 2 можно считать идеальным проводником. Это значит, что в формуле (8.37) нужно перейти к пределу |є|->оо. В результате получим
П „2„,2 „:„2 Q
Wf ((0,9):
я2с3 (1 — (у/с)2 COS2 2л л/2
Wf (со) = 5 dcp 5 Wf (со, 6) sin 6 dQ =
о о
Aq2V2 (3(1 + (у/с)2) . 1 + а/с
In 1 + v,c__=
Зле3 1 8 (о/с)3 111 1 - v/c А (у/с)2 J
В нерелятивистском случае (т. е. при аСс)
W? (со, 6) = 4?!!, Wf (со) = . (8.376)
Итак, при влете заряда q из вакуума в идеальный проводник (практически для частот не выше оптических роль такого идеального проводника играет хороший металл, например медь) в вакууме появляется переходное излучение со спектральной плотностью энергии (8.37а), (8.376).
Для получения формул (8.37а), (8.376) нет, однако, нужды исходить из общей формулы (8.37). Для этой цели значительно проще воспользоваться выражением для энергии тормозного излучения зарядов при их резкой остановке (см. § 69 в [2], где величина dUs обозначена через d<?пш)
d2U $ 1 (v-, / [v.„sl [v,..sl \-)2
(8.37в)
где ei — заряд i-й частицы, скорость которой резко изменяется от значений Vn до v<2, a s = k/k— направление волнового вектора; резкость изменения V означает, что это изменение происходит за время т <С 2л/со, где со — рассматриваемая частота (об излучении при резком изменении движения источника см. также [ 136в, г]).
Если в вакууме (в отсутствие препятствий, границ и т. д.) один заряд в\ = q резко останавливается или резко ускоряется
179 из состояния покоя до скорости v, то
Г (со, 0, ф) = ^ (1_^os6)2 , (8.37Г)
2 Jt п
W (со) = J W (со, 0, ф) dQ = J flfqp 5 г (со, 0, <р) sin 0й?0 =
= ^-(4- lnl+^-2). яс \ о/с 1 — u/e /
В случае переходного излучения при влете заряда q из вакуума в идеальный проводник (см. рис. 8.1) в (8.37в) нужно, очевидно, считать, что заряд в\ = q со скоростью v и заряд е2 = —q со скоростью —V останавливаются на границе. Поэтому вместо энергии (8.37г), относящейся к одному заряду, получаем выражение (8.37а), причем нужно учесть также изменение пределов интегрирования по 0. По последней причине энергия (8.376) в 4 раза больше энергии, излучаемой при мгновенной остановке одним зарядом q в полусферу направлений (при нерелятивистской скорости поля останавливающихся заряда и его изображения просто складываются, т. е. удваиваются). В ультрарелятивистском случае (при v/c-+ 1) выражения (8.37а) и (8.37г) для W (со) = Wi (со) совпадают. Объясняется это тем, что излучение направлено в основном по скорости заряда (т. е. по v или для изображения по —v). Но излучение заряда, «уходящего» в металл при влете заряда из вакуума в металл, или излучение изображения, «уходящее» в металл при вылете заряда в вакуум, не наблюдается. Другими словами, в вакууме излучение оказывается таким же, как при резкой остановке (ускорении) одного заряда. Кстати, в нерелятивистском приближении величина Wr(Oa), определяемая из (8.37г), вдвое меньше, чем согласно (8.376), так как излучает один заряд (уменьшение в четыре раза), но во все пространство (увеличение в два раза).
