Теоретическая физика и астрофизика - Гинзбург В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
OO
^ = E4 (vi) е~ ш da dv, =
— OO
OO OO
_ Iq2V Г , f/.__d (X2C2Ia,2)__
~ яс2 J Ш J V V2B J (е - C2Iv2 - X2C2Ia2) ~ о о
OO OO
q2v С ( с2 \ С / с2 X2C2 \ X2C2
о о
?г/»'Є< 1
При рассмотрении переходного излучения, как уже говорилось выше, мы будем считать условие черенковского излучения не выполненным (т. е. полагаем, что с2/о2е > 1; см. (8.1)). Для использования граничных условий (8.11) необходимо знать тангенциальные компоненты электрического поля. Они легко находятся из (8.9) для поля заряда (индекс q) и поля излучения (индекс R)
(^ = -1^?). = Ve-^f • <8Л6)
Теперь можно воспользоваться граничными условиями (8.11) для получения двух уравнений, определяющих амплитуды поля
*) При интегрировании здесь используется известный прием, связанный с введением сколь угодно малого затухания (см. ниже формулу (12.34)).
174 излучения а\ и а2:
K2C2ICO2 __K2C2ICO2__,fi
?'а1 -- о _ ^2/,,2 _ „2г21т2 ?2Й2> (О-1 Ч
Ei — C2Iv2 — X2C2Iw2 ' 1 B2-C2Iv2-X2C2/CO2
X2C2IdD2 . a, / x2c2
us] (s1 — C2Iv2 — X2C2Iw2)
__X2C2Iw2 а2
CS2 (S2 — C2/t>2 — X2C2IИ2) С
. (8.18)
Даже не решая уравнений (8.17), (8.18), можно сразу сделать ряд выводов, касающихся излучения ультрарелятивистской частицы, когда І/дЛ — V2Ic2 = SIMe2 » 1. Действительно, из (8.17) видно, что заметное излучение возникает в том случае, когда собственные поля частицы существенно различны в двух средах или, другими словами, в двух средах отличаются факторы — є -f- c2/v2 + x2c2/(u2. Рассмотрим теперь область высоких частот, когда использование плазменной формулы для диэлектрической проницаемости
. 9,п , AnNe2 є = 1 — аг/аг; cof, =-
P1 ' р т.
оправдано для любых сред. Тогда
/ 2 \ 22 2 / „ 2\2 22 ( С \ X C Wn ( Me Л X C
+ + J +т- (8-19)
При CD СОр, Т. Є. E a 1 И величине K2C2Zun2 « б2 -C 1, где 8 — угол между к и V, в (8.19) все слагаемые будут величинами одинакового порядка, если
со ~ соpS/Mc2, Є ~ Mc2IS. (8.20)
Будем поэтому рассматривать излучение в основном вперед и на высоких частотах, считая выполненными условия (8.20). Соотношения (8.17), (8.18) тогда принимают вид 02 02
+ aI — р)2 I 2 (Mr2IX\2 + «2. (8.21)
е2 + (со pl/w)2 + (Mc2Itf)2 1 в2 + (wp2/w)2 + (Mc2Itf)2
02 02
aI= Q2 і „/„-,2 і 1Мг21ж\2 +а2. (8.22)
62 +(Wpl IW)2 + (Me2 Itf)2 Q2 +(Wp2IW)2 +(Me2Itf)2
где CD21 и CD22 — значения плазменной частоты в средах I и 2 соответственно. Из (8.21), (8.22) следует, что аі=0, т. е. излучение назад отсутствует, а излучение вперед определяется амплитудой
g2 (ш22 - (o21)
a2 = со2 [В2 + (wpl/w)2 + (Mc2Itf)2] [Є2 + (cop2/co)2 + (Mc2Itf)2] ' (8-23)
Интенсивность излучения пропорциональна |а2|2 (см. ниже). Обращение в нуль излучения назад является лишь следствием принятого приближения, определяемого условиями (8.20). При
175 выполнении условий (8.20) излучение назад в действительности не отсутствует, но оно будет более высокого порядка малости по параметрам разложения 02 и (Mc2/S)2.
В общем случае также нетрудно разрешить систему (8.17), (8.18) относительно амплитуд aj и а2. В результате получаем
V K2C2 , 0,2 С CO2E2 ^2 ( V2 — Єї) I^l — —г-е2 V / X2C2 с ЛІ'' »¦ )х
х[( V2 . X2V2 1 C2 ®2 + CO2 -)0-7V-- jSlJX
X (є, д/е2 - X2C2 / W2 + Є2 Д/ є, (8.24)
V V2C2 , "I =с Л, <8: ! — Sl)(l — ^T Є, . О / X2C2 + с ЛІ" »¦ ¦)х
-)0+т V--
X (є, aJ H2 X2C2 / +Є2д/е 1 • •ЯІ'. (8.25)
В приближении (8.20) из (8.24) получим (8.23), тогда как для излучения назад имеем
Є2 (є2-S1) в2 (сO21-M22)
a' ~ 4 [в2 + (Шр./ш)2 + (Mc2/$)2] ~ 4со2 [g2 + (cupi/cu)2 + [Mc2Iig)2) ' ^8'26)
Для нерелятивистского заряда v <С с излучения вперед и назад оказываются примерно одинаковыми (если Єї и е2 одного порядка величины).
Получим теперь формулы для энергии переходного излучения, выразив ее через амплитуды а\ и а2. Для этого совсем не обязательно вычислять поток вектора Пойнтинга, а достаточно рассчитать энергию радиационного поля Er асимптотически при t-*-oо, когда радиационное поле и собственное поле оказываются разделенными (при этом среда, в которой рассматривается переходное излучение, считается прозрачной). Такой метод расчета соответствует гамильтоновскому методу, изложенному в гл. 1 и 6.
Простоты ради будем в выражении для энергии пренебрегать дисперсией и учтем, что в этом случае в плоской волне (8.13) магнитная и электрическая энергии равны друг другу. Тогда излученная энергия
W* = J- J е2 {(?« (г, /))2 + (?« (г, О)2} dr± dz, (8.27)
где рассматривается поле в среде 2 (излучение вперед).
В действительности полученный ниже результат справедлив и для диспергирующей среды — в этом случае в (8.27) вместо щ
176 „ „ 1 uf (co3e2)
появляется множитель -T^j-—который в дальнейшем сокращается (см. гл. 6).
Поскольку нас интересует полная энергия, излученная в среду 2, то поле излучения нужно считать уже отошедшим от границы сред и образующим некоторый цуг (пакет) волн, целиком находящийся в среде 2. Поэтому интегрировать по 2 можно в пределах от —оо до + оо, не заботясь о границах и не принимая во внимание затухающие волны (т. е. полагая B2 > v?c2/а2\ см. (8.14)). Далее, согласно (8.16),
