Теоретическая физика и астрофизика - Гинзбург В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим вначале основную и простейшую в известном смысле задачу теории переходного излучения о пересечении движущимся с постоянной скоростью V зарядом q границы раздела двух сред. Для простоты считаем, что падение на границу раздела нормально. Изотропные среды / и 2 характеризуются
Рис. 8.2. К расчету переходного излучения при пересечении зарядом q границы раздела двух сред.
значениями диэлектрической проницаемости ei и е2, которые в общем случае могут быть комплексными (рис. 8.2). Исходными являются, разумеется, уравнения поля
rot H = — + — ]ч, rot E = — — -?-; B = H, (8.2)
с dt 1 с 3 ' с dt 4 '
в которых плотность тока равна
jч = qvd (г - v() ^= qvo (х) б (у) б (z - vi). (8.3)
В силу того, что задача однородна по времени и по направлениям в каждой из сред, параллельным границе раздела, удобно
171 все величины разложить по Фурье во времени и по компо> ненте г, перпендикулярной скорости заряда (обозначаемой здесь через г j.; ось г перпендикулярна границе). Тогда
ІІ (г, /) = jj /к> ш (г) ехр'(гхг— iat) dv. da, E (г, t) = ^ Ex ю (г) ехр (г'хг ^ — iat) dv, da, H (г, 0~ \ Hx,ш (^) ехр (гиг^ — Ш) d-к da.
(8.4)
Вектор и имеет две компоненты Kx и Ky. Для компоненты фурье-проекции ji плотности тока ]q из (8.2) получаем
^a(Z) = </ехр (/-^-г)/» (8.5)
Удобно также выделить компоненту E по направлению скорости заряда, обозначаемую просто через Е, и перпендикулярную компоненту Ej.. По определению
E = У?-, E1 = E-^. (8.6)
Вектор Ex имеет две компоненты Ex и Ey.
Поскольку в дальнейшем мы будем пользоваться только уравнениями для компонент Фурье в разложении (8.4), то для сокращения будем опускать индексы и, со у соответствующих величин. Для указанных компонент, проектируя уравнения (8.2) на направление скорости заряда v, получим
л Ti CD г, 4яі :а Ї
%ХН у — -KyHx = — — є?--—/', j
Отсюда (вводим обозначение к2 = K2x + и2) находим
(У - е) Е +1 ж (^eJ-) = TW Ч exP [г' T 2] ¦ (8-8)
При проектировании уравнений Максвелла на направление, перпендикулярное скорости частицы V, ток частицы, естественно, не вносит вклада, и мы имеем
(¦? + ? в) <*EJ = (8.9)
д2 со2
Действуя оператором ~Ye на °бе части уравнения (8.8)
и используя (8.9), можно исключить xEj. и полечить одно уравнение для E
JL ____E-_ ^niag
дг2
• єЯ + е (-J- є - Y2) E = - -^gZr (е - - J) ехр [г-J г]. (8.10)
172 Здесь учтено, что в пределах каждой из сред 1 я 2 диэлектрическая проницаемость є является постоянной величиной и не зависит от г. Однако на границе раздела сред она испытывает скачок. Поэтому уравнение (8.10) нужно решать в каждой из сред и сшивать решения, используя граничные условия — равенство на границе нормальных компонент индукции и тангенциальных компонент электрического поля
^e І U0 = ^Uo,
(XEx)1U0 = (XEi)2U0. (8.11)
Рассмотрим вначале решение уравнения (8.10) для однородной среды (в качестве которой может служить каждая из двух сред). Такое решение будет суммой вынужденного решения — поля заряда q в среде
EcI-__4ш-? (1 - сУУЧ)_ M l (8 ,ох
п — со (2я)3 (в - с2/у2 - Х2с2/и2) expL V zJ
и — свободного поля (поля излучения)
=I^wa exP [±г'T2 Ve"^ ]• {8ЛЗ)
Напомним, что E = Eq -f- Er— компонента поля E в направлении скорости заряда v. Выделение множителя Aniq/а (2л)3 в амплитуде поля излучения сделано только в целях удобства рассмотрения. Амплитуда а оказывается тогда безразмерной. Далее, знак плюс в (8.13) соответствует волне, распространяющейся в направлении z ~> 0, а знак минус — соответственно в направлении z < 0. Поле Er в волновой зоне представляет собой поле, описывающее переходное излучение. Оно должно распространяться от границы раздела сред, т. е. в среде 2 нужно в (8.13) выбрать знак а вереде 1 — знак —.
Следует, впрочем, сделать две оговорки. Строго говоря, поле (8.13) представляет собой поле излучения только в том случае, когда оно описывает распространяющуюся волну, т. е. если
(8.14)
При е < х2с2/со2 поле (8.13) будет экспоненциально затухать от границы, т. е. при обоих знаках + и — необходимо положить
Vyfic^ (0 / УС^С^
=iHV^""6' (8Л5)
Такие затухающие от границы волны обязательно присутствуют при рассмотрении переходного излучения, так как соответствующие волны могут на границе испытывать полное внутреннее
173 отражение. Строго говоря, существует и переходное излучение поверхностных волн, которое мы здесь не рассматриваем.
Вторая оговорка касается возможности существования решения однородного уравнения (8.10) при условии є = 0. Оно отвечает излучению продольных волн, характеристики которых существенно зависят от пространственной дисперсии, а следовательно, и свойств среды вблизи поверхности. Здесь их также рассматривать не будем.
Прежде чем использовать граничные условия (8.11) для сшивки решений в интересующей нас здесь задаче, отметим по ходу дела, что из (8.12) легко получается формула Тамма — Франка (6.61) для излучения Вавилова — Черенкова в однородной среде. Такое излучение возникает, если выполнено условие c2/v2e ¦< 1. Мощность излучения равна со знаком минус работе, совершаемой в единицу времени полем Eq над током jq (эти величины коллинеарны) *)
