Теоретическая физика и астрофизика - Гинзбург В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
= '/2 E (p\t + шМ,). (1-22)
14 Здесь введены обозначения
Pm = Ч и, К = с*кЪ (1-23)
точка означает дифференцирование по времени. При получении выражения (1.22) было использовано условие ортогональности (1.20).
Каждый член суммы (1.22) есть энергия классического осциллятора с частотой 0?. Таким образом, (1.22) есть сумма энергий отдельных осцилляторов, которые называют осцилляторами поля.
Если известны все q\i{t) в (1.18), мы можем определить энергию поперечного электромагнитного поля. Следовательно, дело сводится к определению qxi(t).
Чтобы найти уравнения для qu(t), подставим разложение (1.18) в уравнение (1.12) для «поперечного» векторного потенциала. Умножив обе части полученного уравнения на Aju- и проинтегрировав по объему «ящика», получим следующие уравнения для qxi(t):
о-24)
Это — уравнение осциллятора при наличии возбуждающей силы, причем cos(k*r) берется при і = 1, a sin(kxr) — при і = 2.
Уравнение (1.24) выведено в предположении, что в поле имеется один точечный электрон (заряд е\ см. (1.2)), движущийся со скоростью v(/). Обобщение на случай многих зарядов очевидно.
Все рассмотренные соотношения можно записать вполне аналогично уравнениям Гамильтона классической механики:
аж (р, д) л_ дЛ(Р, g) „„
Р— Tq ' q— Tp ' (l'Zb)
где q) —функция Гамильтона механической системы, q и
р — соответственно обобщенные координаты и обобщенные импульсы.
Наша задача — найти такую функцию Ж(р\і, qxi), чтобы из нее можно было получить уравнения движения типа (1.25).
Очевидно, уравнения (1.24) для qXi в случае свободного поля (без зарядов), т. е. уравнения
+ = Ь О-26)
можно представить в форме Гамильтона, если
^ = ^=1/.!?+?), (1.27)
At І
где сWtr — энергия поперечного электромагнитного поля (1.22).
15 Действительно, из (1.25) и (1.27) получаем
Pu = - ЖТ = ~ 0^u-' Iu^dFT = Pv (L28)
'Ki Xi
что совпадает с (1.26).
Ряд (1.18) с qxi, которые определяются из (1.26), есть сумма плоских электромагнитных волн, распространяющихся со скоростью света. В самом деле, из (1.26) следует, что qu— = Ci cos оit -f C2 sin at, причем со = со*.. Вместе с тем = c2k\ (см. (1.23)) и, следовательно, поле меняется по закону COSC0X(t— Stf/с) или sin С0?,(/ — Stf/с), где SI = ^x/kv S2=L Таким образом, в отсутствие зарядов поле состоит из плоских волн, движущихся со скоростью света; этот результат ясен, конечно, уже из исходных уравнений.
Если классическая функция Гамильтона электромагнитного поля без зарядов в вакууме есть энергия поля, то при наличии зарядов следует учесть еще энергию взаимодействия их с полем. Как хорошо известно, в нерелятивистском случае энергия заряда в поле имеет вид
^ = І(р-7А)2 + єФ- (1'29)
Полный гамильтониан для системы электромагнитное поле + + заряженная частица, таким образом, равен сумме выражений (1.27) и (1.29)
Ж = (р - 7 А + еф (Гг) + Mtr, (1 -30)
где г,- — координаты точки, в которой находится заряженная частица (если частиц много, то Же является суммой выражений типа (1.29); ниже индекс і у г, мы будем иногда опускать).
Из этого гамильтониана (фактически мы все время говорим пока о классической функции Гамильтона) с помощью (1.25) получается следующая система уравнений:
Pu = - + (р ~ 7 А) Aw' ^d = PH-
Эта система сводится к уравнению (1.24). Действительно,
дЖ 1 / е „N поскольку величина г = = — ^p —- AJ есть просто скорость
частицы V = г, мы приходим к уже выведенному ранее уравнению. Из функции Гамильтона (1.30) можно получить и уравнение движения частицы в поле; продифференцировав Ж по г, находим
P = --^ = e{E + 7[vHj} + 7A' (1-31)
16 где р = mv -f у А - обобщенный импульс частицы, находящейся в точке г; при этом, как легко рассчитать (см. [7], с. 745),
е 1 Г
— А (г) = -J^r \ [EH] dv есть импульс электромагнитного поля,
связанного с наличием заряда и внешнего магнитного поля H (конкретно [ЕН] вычисляется с использованием кулоновской калибровки (1.10) и в приближении, когда H есть внешнее поле, a E — кулоновское поле точечного заряда е; тем самым для рассматриваемого заряда, движущегося в магнитном поле с нерелятивистской скоростью о < с, в хорошем приближении речь идет о полном электромагнитном импульсе системы).
Итак, из выражения для функции Гамильтона (1.30) получаем и уравнение движения для осцилляторов поля, и уравнения движения для заряженных частиц.
Здесь мы рассматриваем все в нерелятивистском приближении*), для того чтобы использовать большую близость по форме между нерелятивистской классической механикой и нерелятивистской квантовой механикой. В релятивистской квантовой теории частиц со спином ]/2, где используется уравнение Дирака, не имеющее столь ясного классического аналога, это сходство в известной мере теряется.
Переход от классической электродинамики в форме Гамильтона к квантовой электродинамике совершается точно так же, как переход от классической нерелятивистской механики к квантовой. Именно, классическая функция Гамильтона для частицы с импульсом р и координатой г
