Теоретическая физика и астрофизика - Гинзбург В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
6 В. Л. Гинзбург
161 от траектории частицы. В то же время черенковское излучение формируется в области с размерами порядка длины волны і = 2лс/(іш = K0/п. Во-вторых, рассмотрение излучения в каналах и щелях представляет известный методический интерес.
В случае черенковского излучения заряда, как следует из расчета (см. [127] и ниже), интенсивность излучения при а/% < 1 такая же, как в сплошной среде (а — радиус канала или ширина щели). Этот результат находится в согласии с упомянутым интуитивным представлением, что канал или щель с размерами а <С Я не должны оказывать влияния на излучение, формирующееся в области с размерами порядка %. Фактически же такой вывод уже для диполей и других мультиполей верен лишь в частных случаях.
Для выяснения влияния тонких каналов (щелей) на черенковское излучение удобно воспользоваться теоремой взаимности
(1) (2)
где ju'2> = j'1'2> (м)—компоненты Фурье плотности стороннего
(2)
тока в областях 1 и 2; поле Ea создается током 2 в области 1 и поле Е(а — током 1 в области 2 (см., например, [84, 86, 126])*).
дР
Записывая ток в виде j = pev + с rot Ш + —, получаем
S [(PeVt EL2) -to (PW =
(О
= S [(Р.*eL1' - to (Р®Е?> - HA2>HO>)] dV, (7.51)
(2)
где 1.11,2 — магнитная проницаемость среды в точках 1 и 2. В случае черенковского излучения точечного заряда, движущегося
по оси 2,
(PeV)W =~ V ехр (шг/0) б (X) б (у) (7.52)
и, помещая в удаленной от траектории точке 2 некоторый электрический диполь с моментом р<2>= ^ P(2)dV, имеем
~ ^ vE<2) (0, 0, z) ехр (г г) dz = — гсор<2>Е (2), (7.53)
где E (2)= Е(1)(2) — интересующее нас поле излучения в точке 2 (индекс со опускаем).
*) В указанной форме теорема взаимности справедлива для любой линейной неподвижной среды, но в отсутствие внешнего магнитного поля. При наличии магнитного поля, когда тензоры проницаемостей є;/ и несимметричны, справедлива лишь обобщенная теорема взаимности (см. § 29 в [84]).
162 При движении заряда в тонком канале или узкой щели (т. е. при а/% < 1) величина vE<2>(0, 0, г) остается такой же, как для сплошной среды, поскольку тангенциальные компоненты поля Е(2) непрерывны. Поэтому, как ясно из (7.53), и поле излучения остается таким же, как в случае сплошной среды.
Для излучающего электрического диполя Р(1) = рб(2 — vt)X Хб(х)б (у) имеем
Jr 5 рЕ(2) (0, 0, 2) ехр (/ -? dz = р(2)Е (2). (7.54)
Если диполь с моментом р = р<1} параллелен оси канала или лежит в плоскости щели, в которой он движется, то при а/% с 1 поле излучения опять остается таким же, как для сплошной среды. Для диполя, перпендикулярного плоскости щели, в связи с непрерывностью нормальной к границе раздела составляющей D = еЕ, имеем
рЕ,2,(0, 0, ^ = B(CD)PEg4 (0,0, z),
(7.55)
с (2)
где E0 — поле, создаваемое диполем 2 в сплошной среде (рис. 7.3). Если поле черенковского излучения диполя 1 (с моментом р(1) = р) в сплошной среде обозначить через E0, то по теореме взаимности
^5РЕ^ехр(і^)^ = р<2'Е0(2). (7.56)
При наличии щели, в силу (7.55) и теоремы взаимности,
і S РЕ(2)ехр ) Л = ^ в $ PE<2> ехр (/dz = р(2,Е (2).
(7.57)
Из последних двух соотношений следует, что для диполя, ориентированного перпендикулярно его скорости, а тем самым и перпендикулярно плоскости пустой щели, поле черенковского излучения E = єЕ0, т. е. в є раз больше, чем для такого же диполя, движущегося в сплошной среде.
Для диполя, направленного перпендикулярно оси тонкого канала, имеющего форму круглого цилиндра, E = (2є/(є + 1)) E0. Поскольку магнитное поле в волновой зоне пропорционально электрическому, излучаемая энергия в рассмотренных случаях щели и канала возрастает соответственно в є2 и (2e/(e-f I))2
Щель или канал j р=р«'
^/.у/у.-ууу-уууу.у-- ,>
Рис. 7.3. К расчету излучения диполя в канале или щели. раз *). Произвольно ориентированный диполь можно считать со-стоящим из диполей, параллельного и перпендикулярного оси канала (щели) и, таким образом, в силу принципа суперпозиции эта задача сводится к предыдущим. Для магнитного диполя с моментом JLi, как ясно из (7.51), при магнитной проницаемости ц = 1 наличие узкого канала на излучении не сказывается. Если одновременно имеются электрический и магнитный диполи, то излучаемые ими поля (но, конечно, не энергии) складываются, т. е. задача также легко решается.
Движущийся токовый момент и «истинный» магнитный момент, помещенные в пустой полости, разумеется, должны давать одинаковое излучение. Это заключение было проверено также прямым расчетом [128] для излучения различных диполей, движущихся в круглом канале; в частном случае тонкого канала получился, как и должно быть, приведенный выше результат, т. е. увеличение поля электрического диполя в 2є/(є -f- 1) раз.
В связи с тем, что черенковское излучение движущегося электрического диполя, а при магнитной проницаемости р, ф 1 также и магнитного диполя, зависит от формы сколь угодно узкой полости, возникает вопрос о справедливости формул (7.45), (7.46) и (7.47) при движении диполей в сплошной среде. Из теоремы взаимности ясно, что речь здесь идет о возможности считать действующее на диполи поле Еэфф средним макроскопическим полем Е. Для внесенных в среду неподвижных диполей это, вообще говоря, не так (т. е. Еэфф ф Е). Однако для движущейся по заданной траектории частицы с зарядом или диполь-ными моментами среднее поле как раз и является макроскопическим полем. К тому же выводу о справедливости исходных выражений (7.42) — (7.44) при движении частицы в сплошной среде, приходим при их получении в результате усреднения уравнений микроскопической электродинамики. Таким образом, справедливость формул (7.45) — (7.47) для черенковского излучения точечных диполей в сплошной среде, на наш взгляд, не вызывает сомнений.
