Теоретическая физика и астрофизика - Гинзбург В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
0 и ф — полярный и азимутальный углы в системе координат с осью z, направленной по скорости v. Интегрирование по частотам в (7.45) ведется по области, где оп(со)/с ^ 1. Как подчеркивалось в гл. 6, приведенный расчет учитывает дисперсию (зависимость п от со), хотя это и не очевидно на первый взгляд.
Для магнитного диполя с моментом jn, направленным по скорости, из (7.45) получаем [77а]
dW
¦^S^O-tSO«^®- (7-46)
dt
Для электрического диполя из (7.45) также сразу получаются уже известные выражения [97, 124]. Упомянутые же выше неясности возникали при рассмотрении магнитного диполя, движущегося перпендикулярно оси диполя. Если в системе покоя частицы его моменты равны jn0 и ро = 0, то в лабораторной системе, как известно, |и = ц0и p = -^-[vu]. Для этого случая (при v 1 ц) находим dW
dt 2tW2
& S { 2 (1 - Й2 - (1 - A) (1 - 7A-) } (7-47)
Это выражение совпадает с полученным в [97], но отличается от результата других расчетов. Так, в [124] вместо формулы
159 (7.47) приводится соотношение
dW dt
=^W1-і-)2*0- (7-48)
Причина расхождения заключается в том, что в [124] и некоторых других статьях используются «истинные» магнитные диполи, образованные магнитными полюсами (расчет вначале ведется для магнитных полюсов, из которых затем образуется диполь). Однако движущиеся «истинные» магнитные диполи эквивалентны токовому моменту только в вакууме. Действительно, при использовании магнитных полюсов с плотностью магнитного заряда р<п(г) уравнения поля имеют вид (см., например, [126])
toth = i^mli сііуєе = о,
1 3(цН) 4я л- и *
rotE = — — —Щ---- pmv, divцН = 4яр„
(7.49)
где считается, что р = 0, j = О и В = [лН (мы вынуждены еще раз напомнить о необходимости различать обозначенные одной и той же буквой (J, магнитную проницаемость и магнитный момент).
Отсюда
rot rot H + Щ- A = _ J? е * (PmV)
с2 dt2 с dt
rot rot E + -^r-^jr = - ^r rot (p«v)-
В присутствии же электрических зарядов и токов (но при Pm = 0) имеем
rot rot H + = rot (pv),
rotrotE + ^=--^^.
Таким образом, уравнения для магнитных полюсов получаются из уравнения для электрических зарядов в результате замен
EH, H-* — Е, р-*рт> ц->е.
Поэтому, на самом деле, токовый момент при р, = 1 эквивалентен «истинному» магнитному моменту только в вакууме, когда е = 1. В среде же с є ф 1 движущийся «истинный» магнитный
момент обладает электрическим моментом, равным y[v|u], а
не —[уд]. Такая замена эквивалентна учету электрической поляризации среды, увлекаемой самим диполем [1256]. Иначе говоря, «истинный» магнитный диполь эквивалентен токовому моменту, «сделанному» из материала с проницаемостью є и по-
160 тому поляризующемуся. Любопытно, что подобный случай для сгустков можно осуществить; для этого, как сказано, нужно, чтобы (для рассматриваемой частоты) диэлектрическая проницаемость є в самом сгустке равнялась проницаемости окружающей среды (например, плазмы, находящейся в магнитном поле).
При квантовом расчете (см. [77а] и литературу, указанную в [92]), исходя из уравнений Паули или Дирака (а также уравнений для частиц со спином 1, 3/2 и 2), находим, в частности, выражения типа (7.46) и (7.47). Если спин при этом направлен по или против скорости V, выражение типа (7.47) получается лишь для переходов с перебросом спина, так как только при таком перебросе существенны перпендикулярные V компоненты оператора спина. На самом же деле, черенковское излучение магнитного диполя не обладает никакой квантовой спецификой.
Характерная особенность выражения (7.47) по сравнению с (6.61) и (7.46) состоит в том, что в нем подынтегральное выражение не исчезает на пороге эффекта (при cos 80 = c/nv = =1), когда
4?—S^O-т)'«»- <™«>
Этот результат не может, однако, считаться парадоксальным, так как сама мощность dW/di на пороге равна нулю и затем плавно нарастает. Действительно, с ростом скорости излучение при учете дисперсии начинается на частоте, отвечающей максимальному значению я(ш). Далее при учете отдачи, что автоматически достигается при квантовом расчете, получается формула (7.3), в которой в случае сгустка роль массы т играет, очевидно, масса всего сгустка. В силу (7.3) даже при п = const излучение с ростом скорости v начинается на одной частоте, в данном случае на частоте о = 0; таким образом, область интегрирования и сама мощность излучения (7.47) с возрастанием V увеличиваются постепенно.
Заметим, что при квантовом расчете можно получить также и выражение типа (7.48), для чего нужно к уравнению Дирака для заряженной частицы добавить соответствующий член, пропорциональный 4i4kGik, а для частицы с некинематическим магнитным моментом заменить yiykFik на уіукНік (здесь Fik = = {Н, г'Е}, Hik= {Н, /D} и Gik = Fik-Hik; yi — известные матрицы Дирака). Однако в применении к отдельным частицам вводить такие изменения нет оснований, а применять подобный квантовый расчет в случае сгустков было бы бессмысленно.
Заканчивая изложение теории черенковского излучения остановимся на случае движения источника (заряда, диполя) в каналах и щелях (для простоты примем, что в канале или щели є = 1 и ц= 1). Этот вопрос важен, во-первых, при изыскании возможностей уменьшить ионизационные потери, которые, грубо говоря, сосредоточены в непосредственной близости
