Теоретическая физика и астрофизика - Гинзбург В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Неустойчивость пучка возникает, если образовавшиеся в нем возмущения (волны) нарастают. С квантовой точки зрения это означает, что коэффициент поглощения для волн (квантов) в пучке должен быть отрицательным (т. е. ц<0), что и имеет место, если частицы пучка, во-первых, вообще могут излучать волны и, во-вторых, функция распределения частиц в пучке по скоростям обеспечивает превалирование индуцированного испускания над поглощением. Достаточно быстрая частица (о»-у/кТ/т), движущаяся в изотропной плазме, как сказано, излучает черенковские плазменные волны. Коэффициент же поглощения ц отрицателен (происходит больше актов индуцированного испускания, чем актов поглощения), если на «верхних» уровнях в пучке больше частиц, чем на «нижних» (см. (7.7), (7.8) и подробнее гл. 16). Для частиц без внутренних степеней свободы (т. е. для свободных электронов, протонов и т. п.) или в пренебрежении изменением внутреннего состояния верхний уровень отвечает просто большей скорости. Отсюда сразу же следует, что неустойчивым будет поток, в котором для какого-
152 то интервала скоростей имеется больше быстрых частиц, чем медленных, т. е. функция распределения частиц в пучке по скоростям fs(v) имеет положительную производную. Такое же условие неустойчивости dfsfdv > 0 получается и классически [120], но в результате специального исследования. Не менее, а в известном смысле и более эффективен (в связи с большей сложностью задачи) квантовый метод получения критерия устойчивости в уже упоминавшемся случае движения пучка заряженных частиц в магнитоактивной плазме (здесь нужно учитывать изменение перпендикулярной магнитному полю проекции скорости частицы или, на квантовом языке, учитывать переходы между уровнями энергии для перпендикулярного к полю движения, которое квантуется [83, 109]).
В качестве иллюстрации сказанного рассмотрим для простоты излучение в направлении скорости v одномерного потока частиц (в общем случае роль fs(v) играет функция fs(vk), где Vk = v cos 0 — проекция скорости частиц потока на направление волнового вектора излучаемых волн к). Для функции рас пределения типа
/Ли*) = Const • ехр I — (vk — vo cos О)2],
изображенной на рис. 7.2, коэффициент ц > 0 в области II, где dfs(vk)/dvk < 0, и ц < 0 в области I с dfs(vk)/dvk > 0. В силу черенковского условия v COS 00 = Uft = = cjnb (со) и волны, испускаемые ча- \fs(vk) стицами с разными значениями Vk (в частности, значениями, отвечающими областям / и II на рис. 7.2), имеют разную частоту, а значит, не могут погасить друг друга и обеспечить устойчивость, даже если ц < 0 только ДЛЯ небольшой части значений vk. За- Рис. 7.2. функция распреде-МЄТИМ, что для любой изотропной лення Is (Vk) для частиц трехмерной функции распределения в пучке.
электронов по скоростям f = f(v2) функция /(иА)= ^ f(v2)dv±
— проекция скорости на направление, перпендикулярное к) не имеет положительной производной и распределение устойчиво.
Возможность излучения черенковских волн приводит, разумеется, и к возможности поглощения частицей таких же волн любого происхождения. Отсюда ясно, что в плазме, помимо поглощения волн, связанного с соударениями*), должно происходить поглощение черенковского типа. В изотропной плазме для
*) При соударениях частиц возникает тормозное излучение. Обратный процесс и состоит в поглощении волн в результате соударений.
153 поперечных волн такого поглощения, конечно, нет (так как нет и черенковского излучения)*).
Но плазменные волны должны поглощаться и в отсутствие соударений. Необходимость появления такого поглощения была уже довольно давно выяснена совсем на другом пути [121] без привлечения соображений о черенковском излучении.
Именно, рассмотрим линеаризованное кинетическое уравнение для плазменных электронов (см., например, [84] и гл. 12)
+ WrZ1 4--^ EVvZ0 = О, / = Zo + /,, l/ol»!/,! (7.34)
(здесь пренебрегается соударениями, a /o(v) — функция распределения в нулевом приближении, т. е. при равновесии — максвелловское распределение). Тогда использование метода Фурье (т. е. подстановки /i(v, г, t) = g(v)exp[j(kr— со/)]) приводит к выражению
г (со-Mf1 = ^EVvZ0. (7-35)
Ески со ф kv, то отсюда делением на (со — kv) получается определенное выражение для Д; подставляя затем /і в уравнения поля
1 а2Е 4я д]. f
rot rot E + ?-^r = — —j< = e}vMv,
получаем дисперсионное уравнение связывающее со с к; это уравнение можно записать в виде с2&2/со2 = tv\ 2 3, где пі, 2, з — использованные выше показатели преломления для волн рассматриваемого типа — поперечных («1,2) и продольной (п3). Если, однако, возможно равенство со = kv, то уравнение (7.35) делить на (со — kv) уже нельзя, и, как можно показать [121], распространяющаяся в плазме продольная волна затухает. Но условие
, cortc г, ,, и2пг „„,
co = kv = —— cos 9, k2 = —-r~ (7.36)
есть как раз черенковское условие (6.56), (6.58). Как сказано, в изотропной плазме оно может выполняться лишь для плазменных волн, поглощение которых в данном случае и представляет собой именно обратной эффект Вавилова — Черенкова (при этом волна ослабляется, а плазменные электроны, скорость которых удовлетворяет условию (7.36), получают дополнительную энергию)**).
