Теоретическая физика и астрофизика - Гинзбург В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Вычислим теперь энергию электромагнитного поля
S j^rfy- о-14)
Подставим сюда выражения для полей E и H в форме (1.9), причем очевидно, что в случае кулоновской калибровки (1.10)
1 <ЭА
Eir=---gf, E1= grad ф. (1.15)
Подставляя (1.9), (1.15) в (1.14), получим
Легко показать, что последний интеграл для замкнутой системы, когда поле «на бесконечности» исчезает, равен нулю.
*) Возможность введения кулоновской калибровки (и связанное с ней использование уравнений (1.11) и (1.12) представляется достаточно очевидной. Поэтому довольно любопытно, что еще лет тридцать назад, когда классическая электродинамика была уже вполне «взрослой», гамильтоновский метод развивался обычно на базе уравнений (1.8), что приводило к усложнениям (см., например, первое издание лучшей для своего времени книги Гайтлера [1], появившееся на английском языке в 1936 г., в русском переводе в 1940 г.); другое свидетельство непопулярности в прошлом кулоновской калибровки можно видеть в том, что посвященная этой калибровке статья [6] была в 1939 г. опубликована в ЖЭТФ.
12 Таким образом, полная энергия электромагнитного поля складывается из энергии поперечного поля и энергии продольного
поля.
Если в поле находится несколько точечных зарядов, то энергия продольного поля есть просто энергия кулоновского взаимодействия зарядов между собой, т. е.
і, 1 "
Собственная энергия точечных зарядов бесконечна и здесь, разумеется, не учитывается. Продольная часть электромагнитного поля по существу не квантуется. Квантуется только поперечное поле (см. [1] и ниже).
Поскольку энергия поля точечного заряда бесконечна, часто приходится (по крайней мере на промежуточном этапе) считать заряд «размазанным» по области с радиусом г0. В этом случае Ші ~ е2До- Электростатический (классический) радиус электрона, определяемый соотношением ге — е2/тс2, где е и т — наблюдаемые заряд и масса электрона, равен re = 2,8 • Ю-13 см. Вопросов, связанных с электромагнитной массой электрона (и других частиц), его точечностыо и т. п., сейчас касаться не будем.
Следуя дальше по пути, ведущему к га мильтоновской форме электродинамики, разложим векторный потенциал поперечного электромагнитного поля А в ряд Фурье
А (г, /) = ? qk (t) Ctx ехр (/М- (1.17)
¦к
Численный коэффициент д/4л с представляет собой нормировочный множитель. Вектор поляризации е^ является единичным, т. е. е2 = I (для простоты здесь и обычно ниже векторы е^ считаются вещественными). Для того чтобы применить разложение (1.17), следует представить себе электромагнитное поле заключенным в некоторый большой «ящик». Можно убедиться в том, что ни в одно из выражений для физически наблюдаемых величин размеры этого «ящика» не входят. Поэтому размер «ящика» ниже везде полагаем равным единице:
L = L3= 1.
Векторный потенциал А есть величина вещественная; поэтому из разложения (1.17) следует, что q_k = q*x, Поскольку поле поперечно, е^ = 0, т. е. вектор поляризации гармоники потенциала с номером X перпендикулярен волновому вектору этой гармоники 1?. Каждому направлению к?, отвечают два вектора е^. Поэтому следовало бы везде ввести еще один индекс, принимающий два значения или, другими словами, различать векторы ем и ед,2. Для простоты ниже мы не будем этого
13 делать, производя в случае надобности суммирование по поляризации в конечных выражениях (при этом считается, что ЄЛ1ЄЯ2 = 0).
Мы можем осуществить и другое разложение векторного потенциала, а именно
A=EfeAw, (1.18)
а, і
где индекс і может принимать только значения 1 и 2,
АЛі = У8л ceAcos(k^r), Au = У8л сеА sin (кЛг). (1.19)
Легко видеть, что функции a^i и ajt2, по которым производится разложение (1.18), ортогональны, т. е.
\ AuAtll-dV = 4nc26uAi (1.20)
(интеграл берется по объему «ящика»),
Поле считается заключенным в «ящик» с зеркальными стенками, и поэтому компоненты волнового вектора к?, должны быть целыми кратными величины 2ji/L, где L — линейный размер «ящика», т. е.
, ( 2я 2л 2л, ) h = ( — пх, -77 пу, — пг I;
здесь пх, Пу и пг — целые числа (при этом суммирование в (1.18) проводится по полусфере направлений к?,). Сказанное, казалось бы, противоречит сделанному ранее утверждению о том, что размеры «ящика» L несущественны и положены равными 1. Однако нетрудно убедиться, что противоречия здесь нет (при достаточно больших значеннях L эта величина не входит в окончательные результаты).
Из (1.18) видно, что поперечное электромагнитное поле полностью определяется заданием набора величин q%i{t). Величины qii(t) образуют бесконечное (счетное) множество. Таким образом, с помощью разложения типа (1.18) поле представлено в виде системы с бесконечным (но счетным) числом степеней свободы.
Посмотрим, каким образом энергия электромагнитного поля выражается через величины qu{t), которые мы вправе называть координатами поля. Нас интересует энергия
SE^ -4- H^
dv. (1.21)
Если А задано в виде (1.18), поля E^ и H можно определить по формулам (1.3) и (1.15), возвести найденные величины Etr и H в квадрат и подставить в интеграл (1.21). Тогда мы получим
