Теоретическая физика и астрофизика - Гинзбург В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Подстановка разложения (7.12) в (7.14) дает для амплитуд поля qxj систему осцилляторных уравнений, интегрирование которых элементарно. Определенные таким образом поля необходимо подставить в уравнение движения (7.11). В результате получаем *)
d ґ \ 2^ ^max /• ¦ ( '
\ \ 1 п)' С05(*<{{~п~
- і [v [ka Л] sin со,- (t—t')) ехр [гк (R-R')] dt' dk+ к.с.= F0+f,
j (7.15)
где R' = R(t'), v' = v(0 и F0 = е j E0 + [vH0]j.
Применяемый метод вычисления силы реакции излучения удобен в ряде случаев даже для изотропной среды или вакуума. В последнем можно было убедиться b гл. 2. Кроме того, для частицы, равномерно движущейся в изотропной среде с показателем преломления п > с/у, из (7.15) получается формула для силы торможения черенковским излучением (7.9).
Рассмотрение сверхсветового движения осциллятора произведено в [108в]. В изотропной среде для осциллятора, колеблющегося параллельно поступательной скорости vo, имеем
R = {0, 0, v0t + R0 sin Q/}; v = {0, 0, v0 + cos й/},
vnr=R0Q, ^ = {1,0,0}, a2 = {0, cos 9, — sin 9}, (7.16)
k = {0, k sin 9, k cos 6},
причем ниже будет идти речь только о дипольном приближении — случае, когда
6Яо = -7«(со)Яо<1. (7.17)
Разумеется, это ограничение (а значит, и дипольное приближение) не имеет отношения к чисто черенковской части излучения.
*) Заметим, что в ходе вычислений заряд нужно считать не точечным, а имеющим некоторый радиус г0. Однако вместо явного введения форм-фактора достаточно при интегрировании по к ввести верхний предел kmax ~ 2я/г0. К тому же интересующая нас радиационная сила (в отличие от электромагнитной массы) от Го не зависит,
145 В подобных условиях Из (7.15) получается следующее выражение для работы поля излучения над частицей:
ттт
A = J vf A = D0 5+5 CosQtfzM = A0 + (7.18)
о о
А = -
e2R20T 4c3?n
(. ?cn(ffl)cose<l L ™ V > \ /J
+ L'tosC1 --51^(1+-S-J ]dtt>}- (7I9)
где
^H-?onHcoser P0 = -T- (7-20)
Если дисперсионная зависимость имеет характер «ступеньки», т. е.
tl (со) = Я = const при CO^COm, п(т) = 1 при со > со
то результат (7.19) можно записать в виде
e2Q,4 R2nIiT Г sin3 Є dQ
>т> 1 [т> )
(7.21)
A = — ^
4 с3
где для аномального эффекта Доплера
1 + Q/ffl
Г sin Є dQ
J I 1 - Poп cos е I5 • ^7-22)
0<e<arccos-
?o п '
а для нормального эффекта Доплера
arccos '"q^ <6<зх. Po«
Величина ^=J ~jf dt = — А> 0 равна энергии, излучае-
о
мой частицей за время Т. Выражение (7.22) является аналогом формулы (6.66), которая относится к осциллятору, колеблющемуся перпендикулярно к скорости поступательного движения.
Работа поля излучения, затрачиваемая на увеличение или уменьшение энергии колебаний частицы, в соответствии с (7.19), равна
„2г, d27
e'QRiT ( С Г 1 / йу-1
'¦¦'-^LL't'-ps^-)]"-
-,„„le.^'-WC-v)']^}- ^
?Qn(o))cose<;i
146 ? случае (7.21)
л
=
C2Q4R20IiT 4?
( Г sin3 6 rf9 Г sin3 Є dQ
і J (1 -?o/г cos Э)4 ~ J (1 -?0n cos 9)4 ( ^7,24^
о ss '
(У - arccos (1 + JL) , ^ arccos А- (1 - JL)) .
Таким образом, излучение, распространяющееся вне черенковского конуса, которому отвечают вторые интегралы в (7.23) и (7.24), приводит к затуханию колебаний, тогда как излучение внутри этого конуса (аномальный эффект Доплера), которому отвечают первые интегралы в (7.23) и (7.24), раскачивает колебания*). Этот результат находится в полном согласии с квантовыми соображениями (см. выше). Легко видеть, что вторые интегралы в (7.23), (7.24) больше первых. Отсюда следует, что в изотропной среде всегда происходит затухание колебаний осциллятора и 0, только если в существенной области интегрирования ?ott(w) -> OO.
В [108в, 115] рассмотрено кроме того движение осциллятора, колеблющегося перпендикулярно к его поступательной скорости Vo, а также винтовое движение заряда в магнитном поле. Показано, что в изотропной среде, так же, как и в предыдущем случае, всегда имеет место затухание колебаний (этот вывод не обязателен для других излучающих систем, например антенн достаточно большой длины).
Приведенная здесь методика (вычисление работы поля) позволяет, конечно, рассмотреть и обсуждавшийся в гл. 6 вопрос о распределении энергии между черенковской энергией (на че-ренковском конусе) и энергией, излучаемой в силу колебаний заряда и распространяющейся в основном в направлениях, очень близких к черенковскому конусу.
Для выяснения некоторых особенностей сверхсветового движения зарядов в анизотропных средах удобно рассмотреть движение осциллятора вдоль оптической оси одноосного негиро-тропного кристалла, причем электрон считается колеблющимся в том же направлении. Тогда
R = {О, 0, v0t + R0 sin Q?}, k = {0, k sin 9, k cos Є}, &i = {0, cos 0 + Ki sin 6, —sin 0 + Ki cos 0}, a2 = {1, 0, 0},
(я? — e , ) cos 6 1 sin2 8 cos2 ft
K1-LJ-^L-, -+-», kRo<l,
8 , sin 8 П, 8,, 8 I
(7.25)
где ti\ — показатель преломления для необыкновенной волны, которая в данном случае только и излучается. Величина Ki есть отношение параллельной и перпендикулярной к вектору к
