Теоретическая физика и астрофизика - Гинзбург В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
¦ w = const,
(1 -V2Ic2)'1' ^ V Vi - о2/с2). и, следовательно,
.. і 3Vii2 _ п v І" C2 (\ -V2Ic2)
что при коллинеарных v и v совпадает с условием (3.8). Выбирая направление скорости v в качестве оси 2 и полагая для получения особенно простых выражений, что при ^ = O значения 2 = c2/w пу = dz/dt = 0, в обсуждаемом частном случае имеем
Vc2 „ dz wt
w2 ^r dt Vl + WH2Ic2
dv __c3 __w
dt ~ w2 [c2Iw2 + t2)3'2 ~~~ (1 + WH2Ic2)3'2
(3.9a)
Релятивистское равномерно ускоренное прямолинейное движение называют также гиперболическим, поскольку функция z(t) представляет собой гиперболу.
Движение является гиперболическим, конечно, не только в упомянутом случае постоянного и однородного электрического поля, коллинеарного скорости заряда*), но и в соответствующем поле тяготения, важно лишь, чтобы уравнение движения имело вид
d С mv \ „ ,
¦ ( . - J = F = const. Ч Vl - V2Ic2 J
dt
*) Как ясно из сказанного, если заряд движется в электрическом поле под углом к электрическому полю E0, т. е. его скорость имеет слагающую поперек поля, то такое движение не является равномерно ускоренным (заметим, что в этом случае в системе отсчета, где заряд покоится, имеется также магнитное поле). Излучение частицы при ее движении в произвольно направленном постоянном и однородном электрическом поле рассмотрено в работе [36] (см. также [37]).
49Из формул (3.6), (3.1а) и сказанного выше очевидно, что
рав dW dt'
как при нерелятивистском, так и при релятивистском равно
ся dW
мерно ускоренном движении заряд излучает, причем У —
2е2
= -^J- W2. Более того, излучение при движении с постоянным
ускорением ничем в качественном отношении не отличается от излучения при произвольно ускоренном движении. Последнее замечание справедливо не только при вычислении полной мощности 9і = dW/dt', но и для спектрального распределения излучения [36, 37].
Уравнение движения заряда в нерелятивистском приближении имеет вид (2.1) и подробно обсуждалось в гл. 2. Однако для удобства выпишем это уравнение еще раз в несколько других обозначениях:
mw = F0 + -g-v. (3.10)
Его релятивистское обобщение записывается в виде (см., например, [2], § 76)*)
і о„2 / ЯЛ ,„к
du е ik 2е
( d u1 , duk du и \
где внешняя сила считается силой Лорентца (Flk — тензор внешнего электромагнитного поля); иногда уравнение (3.11) записывают в другой форме, учитывая, что u'idui/ds) =0 и, следовательно,
k cPufc duk dtik
U ds2 ds ds
В трехмерных обозначениях уравнение (3.11) имеет вид d ( тч dt
Ь=Щr) = *{E„ + I№)} + f,
f =
Зс3 (1 - V2Ic2)
((w) + c2 (1,(_ j2/c2))}.
с2 (1 — V2Jc2)
(3.12)
*) Выражение для радиационной силы
t _ 2е2 Ґ d2ul { duk duk ' ё =~ЗГ V ds2 ~ds ds~.
2е2 ••
обладает тем свойством, что приводит к силе f = v в сопутствующей
системе отсчета (см. выше обсуждение условия (3.8а)). Кроме того g'u= = 0, как это и должно быть для любой силы (последнее ясно из (3.11) и , du{
тождества и ^ = 0).Как ясно из (3.8), (3.11) и (3.12), радиационная сила для равномерно ускоренного и в частности для гиперболического движения равна нулю.
Отметим, что обсуждавшаяся в гл. 2 ограниченная применимость уравнения движения (2.1), ((3.10)) приводит, конечно, к невозможности использовать релятивистское уравнение (3.11), (3.12) без всяких оговорок. Соответствующие ограничения (см. гл. 4), однако, никак не связаны с рассматриваемым сейчас вопросом о равномерно ускоренном движении заряда.
Какие же здесь возникают неясные моменты и парадоксы?
Первая неясность уже была упомянута (наличие излучения, несмотря на равенство нулю силы радиационного трения). Второй момент, который дискутируется для случая равномерно ускоренного движения заряда, связан с применением принципа эквивалентности при движении заряда в однородном поле тяготения (см. статью [38]). Третья трудность возникает при попытках записать при всех z я t поле заряда, который всегда (при — оо < t < оо) движется равномерно ускоренно. В частности, статья [35] заканчивается утверждением: «мы таким образом приходим к выводу, что уравнения Максвелла несовместимы с существованием одиночного заряда, равномерно ускоренного все время». Такое заключение вполне может оказаться справедливым, поскольку при неограниченном во времени гиперболическом движении полная излученная энергия бесконечна, а при оо бесконечна также кинетическая энергия заряда
(скорость заряда равна с). Но соответствующее решение и не нужно искать при любой реальной физической постановке задачи, при которой частица движется равномерно ускоренно только в течение конечного интервала времени. Например, если речь идет о движении в однородном и постоянном электрическом поле (конкретно в конденсаторе), то заряд движется в конденсаторе при і\ <Ґ < t'2, а при Ґ < t[ и Ґ > t'2 его скорость, скажем, постоянна (напомним, что такое движение в конденсаторе является равномерно ускоренным и, конкретно, гиперболическим только в случае параллельности скорости заряда и вектора поля). Если учесть это обстоятельство, то возможность нахождения решения для поля в виде запаздывающих потенциалов не вызывает сомнений. Тот факт, что поле заряда при равномерно ускоренном или в частности при гиперболическом движении весьма специфично, виден и на примере перехода в волновую зону. Как уже упоминалось, поле убывает по закону 1 /R (волновая зона) при условии R с2 (1 — V2/с2) /v. Но для гиперболического движения при фиксированном времени наблюдения t такой зоны для всей области пространства с R-^oo вообще не существует. В самом деле, при фиксированном t расстояние R = c(t — Ґ) -> оо при t'—оо. Но при Ґ->—оо для частицы, совершающей гипер-