Теоретическая физика и астрофизика - Гинзбург В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Я >-=3,86-IO-11 см. (2.7а)
Это неравенство можно записать также в виде
Йсо = -—^- < тс2 = 5,1 • IO5 эВ. (2.76)
Условие (2.6) заменяется неравенством Хн >ї> Н/тс, что полностью согласуется с (2.7). Смысл условия (2.7)—пренебре-
*) Все перечисленные значения приводятся для электронов (е =; = 4,8-Ю-10 СГСЭ, т = 9,1-Ю-28 г). При этом и в применении к электрону величина е в формулах считается положительной, а тот факт, что заряд электрона отрицателен, учитывается при выборе знаков в соответствующих формулах. Гармонический характер поля E учтен в (2.5), но к (2.6) это предположение отношения не имеет.
36 жение возможностью рождения электронно-позитронных пар (в том числе их рождения в промежуточных состояниях).
Откуда, однако, следует само условие (2.3)? Вряд ли можно лучше и более убедительно ответить на этот вопрос, чем на пути получения уравнения движения из исходных уравнений, т. е. уравнений поля (1.1) и уравнения движения для «протяженного» заряда
mr = e$D(r--r')E(rOtfr, (2.8)
где для простоты пренеібрежено действием магнитного поля (случай V —> 0), плотность заряда p(r')=eD(r — г'), причем
^ D (г — г') dV' = 1 иг — положение центра заряда; главное же,
поле E (г') в (2.8) представляет собой полное поле, равное сумме внешнего поля Eo и собственного поля самого заряда E'(г'). Если длина волны, характеризующая внешнее поле, удовлетворяет условию (2.5), то Eo можно вынести из-под знака интеграла (2.8). Что же касается собственного поля E', то его учет и, если угодно, исключение как раз и должны привести к выражению для радиационной силы. Обычный, довольно громоздкий путь исключения поля E' приведен, например, в [1,4]; здесь же выполним этот расчет гамильтоновским методом [15, 16], что позволит выявить некоторые обстоятельства, остающиеся обычно в тени, и, главное, непосредственно перейти к задаче о реакции излучения при движении магнитного момента.
Для удобства, как мы часто поступали и будем поступать в дальнейшем, повторим основные уравнения, приведенные в гл. 1, но с некоторыми очевидными изменениями обозначений, ясными из (2.8) и пояснений к этому уравнению. Мы имеем
E' — — ' A = E ce^ ^a1 cos (k^ + ^2 sin (k^' (2-9)
я
як\ + = v^ е(еяг (0) \d{t- г') cos (k,г') dV', Якг + <Яи = V^ e(e,r(/)) J D (г - г') sin (V) dV'.
(2.10)
Продольная часть поля E' в (2.8) роли не играет, поскольку она не вносит вклада в силу, действующую на заряд в целом; поэтому в (2.9) фактически и положено Е' = Е^.
Систему (2.10) можно проинтегрировать в общем виде. Нас, однако, не будут интересовать численные коэффициенты, зависящие от вида форм-фактора D. Поэтому будем просто считать, что интегралы в правых частях в (2.10) исчезают для длин волн К = 2n/ki < A,min = 2яс/COmax ~ Го, где г0— радиус заряда. Далее, при COj, < COmax МОЖНО ПОЛОЖИТЬ
^ D cos (кдг') dV' = 1 и ^ D sin (kAr') dV' = Q.
87 Такая возможность очевидна для покоящегося заряда, когда г' = 0 (в силу сказанного г' отличается от г на величины порядка г0, и это отличие не играет роли при со < Ютах)- В рассматриваемом же случае медленно движущегося заряда справедливость указанного приближения (не говоря уже о том, что она подтверждается результатом) обусловлена соблюдением неравенства сo\v/c <С 0?. Дело в том, что именно частота порядка (s>xv/c появляется в правой части уравнений (2.10) при подстановке г' « г = \t, собственная же частота осцилляторов поля равна щ. В результате приведенный ниже (см. (2.13)) интеграл первого из уравнений (2.10) мало изменяется при учете зависимости правых частей уравнений (2.10) от времени. Поступая указанным образом, из (2.8) — (2.10) получаем
тг = еЕ0 — ел/8п (2.11)
к
Qu + <Qu = V^" е (еАг (/)). (2.12)
Здесь учтено также, что в сделанном приближении можно положить qu = 0 и А = д/8л с ? ^qu- Решение уравнения (2.12)
К
при условии, что при t = 0 частица, окруженная своим увлекаемым полем, движется равномерно, имеет вид
_ t
Qkі = ej^T- (0)) cos щї + ( (eAr (т)) sin щ (t-x) dx. (2.13)
ffl^ ®a 5
Подставляя (2.13) в (2.11), переходя от суммирования по к к интегрированию по со и по углам (см. (1.83)), а затем производя несколько простых операций (осуществляется интегрирование по углам и преобразование интеграла), получаем окончательно
'г. _ „с 4e2(0max , 4е2 /гл sin toтах< I
tnr = бЕ0 (г) — Зясз r + gr(0)--t-+
t °>тах
+^r 5 S cos ® ((—т)aa dx=
о о
_ / , " і 2е2 ••• . 4е2 " sin COmax^ і = еЕо (г) - memГ + g^r г + -g^ Г (0)-f S- +
+ члены, стремящиеся К нулю при CDmax ~ с/г0 ->• оо. (2.14)
Появление члена с электромагнитной массой mem = = 4е2сошах/Злс3 ~ е2/г0с2, который стремится K OO при г0->О, свидетельствует о необходимости проводить перенормировку массы уже в классической теории. Перенормировка сводится
38 к тому, что суммарная масса т + тет объявляется наблюдаемой массой частицы *). Радиационная сила f = (2e2/Zcb)r не зависит от го и, следовательно, от каких-либо предположений о структуре заряда. Но эта сила — не единственная сила реакции. Во-первых, появляется дополнительный член, пропорциональный (sin (OmaxZ)/t И СуЩЄСТВЄННЬІЙ При МЭЛЫХ І. Вообще ясно, что просто интегрировать уравнение (2.1) с какими-то начальными условиями недопустимо, ибо оно непригодно при 0. Поэтому не возникают и трудности, связанные с появлением «самоускоряющихся» и других неверных решений (подробнее см. [17, 18]). Во-вторых, невыписанные в (2.14) члены порядка (го/к), (ro?)2 и т. д. малы по сравнению с / лишь при условии типа (2.5), которое и приводит к требованию (2.3). Итак, именно рассмотрение радиационной силы f как возмущения действительно позволяет без опасений использовать уравнение движения (2.1), смысл и границы применимости которого представляются достаточно ясными.
