Теоретическая физика и астрофизика - Гинзбург В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
{к-
CO)2 + lUy'
+
(Ю/е + ffl)2 + 114Y2 Лд:2и4(сйц + а2)
}-
8Я2[(С,
.^2)2 + Y2CO2]'
(15.15)
где Л — некоторый коэффициент пропорциональности и усреднение отмечено чертой сверху. Если, как обычно имеет место (за исключением радиодиапазона),
Y < ®о.
то с достаточной точностью можно написать
Лхпсо!
2 4
0Ш0
у I0/2л
16л2 [(со - CO0)2 + lUy2)] (со - co0)2 + viy2
/о= J /И
(15.16)
(15.17)
dco.
319 Формулой (15.17) для /(со) обычно и пользуются, ее смысл вполне ясен. В случае же более общей формулы (15.15) видно (см. ниже), что Xo не выражается простым образом через х2 = — ^ (x2)ffl da и, следовательно, предположение о постоянстве л'о
для всех осцилляторов является совершенно произвольным и неразумным (см. ниже). Как по этой причине, так и для целей дальнейшего изложения рассмотрим более реалистическую задачу, а именно тот же осциллятор, но под действием случайной силы /(/):
+ оо
X + ух + со2.г = /(/) = jj fa ехр (— Ш) da. (15.18)
— OO
Отсюда
*«. =-FTzV-- (15.19)
— со -fco0— iya
Роль «силы» f могут играть, например, соударения, поддерживающие квадрат амплитуды колебаний осциллятора на некотором неизменном среднем уровне. Если считать, что /(/) = = Z ат& (t — tm), то
т
^ = 1ЇГ T а,п ехр m^
т
и для случайных (некоррелированных) соударений получим среднее значение
(/2)и = 4л2 Z ат-
т
Далее, в этом случае
+ OO +оо
^= \ (x2)ffl dco = (Z2)w \ J~2-g 2 2 =^g-. (15.20)
_Joo (ш - ®o) + Y ® Yffl0
Тем самым среднее х2 и, следовательно, средние значения потенциальной энергии tI2Inay2X2 и кинетической энергии '/2тх2 оказываются постоянными при заданном (Z2)ffl = const (в тепловом равновесии эти средние значения равны 1/2кТ). Поэтому использование выражения (15.19), а не (15.14) не только проще и удобнее, но и более осмысленно. Из (15.19), учитывая сказанное, сразу же получаем
/ (со) = Aa4 (X2)a = 2 Лю'2(Г" і 2 ¦ (15.21)
(со -CO0) + Y СО
Разумеется, при условии (15.16), выражение (15.21) переходит в (15.17). В общем же случае, как отмечено, спектральная плотность интенсивности (15.21) получена при более разумных
319 и естественных предположениях, чем выражение (15.15). Что же касается уширения линий излучения и поглощения в реальных условиях, а не для обсуждавшейся простейшей модели, то в этом отношении имеется много возможностей и вариантов (см. [201]).
Рассмотрим теперь тот же гармонический осциллятор, но в качестве рассеивателя, а не спонтанного излучателя света. Предположим, что падающий свет является монохроматическим, т. е. поле падающей волны имеет вид
+ OO
E (/) = ^ Ea ехр (—¦ /со/) dco =
- оо
= ?оехр(— met), Ea = E0o (со — coe), (15.22)
причем частота сое лежит вдали от резонанса.
Каков будет спектральный состав рассеянного света при учете затухания рассеивающего осциллятора или в условиях, когда спонтанное излучение осциллятора претерпевает ударное уширение (в последнем случае при простейших предположениях получается формула (15.17) с у = 2/т, где т — среднее время между столкновениями; см. [201, 202])?
На поставленный вопрос в ряде статей в свое время давался такой ответ: ширина линии рассеяния будет такой же, как в случае линии испускания; аналогичный ответ автору неоднократно приходилось получать, например, и на экзаменах. Между тем легко видеть, что при сделанных предположениях рассеянный свет будет монохроматическим, т. е. уширение линии практически полностью отсутствует. Действительно, уравнение движения осциллятора в поле (15.22), которое считается направленным по оси x, имеет вид
е
~ ' уч 1 Tn
Отсюда
Yi + ф = f (/) + — E0 ехр (- ше(). (15.23)
v _ (e/ffl) Eоб (со — CDe) + fa) /ICOH1I
Xa 2 2 . • (,lO.^+J
— CD + CDq — iy CD
и вдали от резонанса, т. е. при |со0— со | у, а также в предположении, что соударения происходят не слишком часто, роль члена, пропорционального fa, весьма мала, поскольку случайная сила f имеет широкий спектр.
Сказанное ясно, конечно, и без всякого спектрального разложения: при рассеянии света осциллятор совершает вынужденные колебания с частотой, равной частоте вынуждающей силы (рассеиваемой волны). Соударения же, пока их длительностью At можно пренебречь, приводят к изменению амплитуды и фазы собственных колебаний осциллятора, имеющих частоту со^ =
= д/сйд—iAy2) которая считается существенно отличной от
319 частоты падающей волны (ое. В течение времени At, когда рассеивает уже другая система, рассеяние изменяется, что может, в частности, приводить к деполяризации рассеянного света [203]. Уширение появляется, конечно, и при приближении к резонансу (в особом рассмотрении, хотя в принципе и вполне ясном, нуждается также рассеяние не монохроматической волны, а чередующихся импульсов).
Вдали от резонанса и при пренебрежении длительностью соударений по сравнению с временем свободного пробега, уширение линии рассеяния связано только с движением рассеивателя. При этом в первую очередь появляется обычное доплеровское уширение [201, 202].
