Теоретическая физика и астрофизика - Гинзбург В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
E = Eі cos со/ + (E2 -f E0) sin со/,
то
тх = еЕ, Vx^x (т) = U0 + {Ei sin сот + (E2 + E0) (1 — cos сот)}.
(14.45)
*) При T -*¦ 0 свободная энергия совпадает с внутренней энергией. В задаче же о ван-дер-ваальсовых силах обычно интересен лишь случай T-*- 0 (см. [181, 184]). Поэтому мы и не выписывали выражения для Wr,
Рис. 14.4. К задаче о пролете электронов через полый резонатор.
319 Будем далее считать Ei и E2 случайными величинами, так что Ei = E2 = O и ЕІ = E2= К2//,где / — толщина резонатора (проходимый электронами путь в резонаторе) и V2 — средний квадрат флуктуационного напряжения на «обкладках» резонатора. Тогда с точностью до членов порядка е2 имеем (Ко = lI2Inv0)
к* - ^o=(iPsin2 '/2шт+
+ E20 (1 - cos сот)2) + E0 sin2 VjfflT,
Wd3 ^ - =O- (Kzr^))2=
vO- -2 1/ -рг Sin2 I2WX.
Ae2V2n V2
(14.46)
Опущенный здесь член порядка е4 незначителен, если скорость электрона мало изменяется, т. е. (V0 — ит) и о; в этом же приближении время пролета через резонатор т = Ifv0 и
W^e2V2 {^ff.
(14.47)
Выше временная зависимость V считалась несущественной. Если это не так, то вместо (14.47) имеем
(ЩГ = 2е2\ (V% (?I)2dco,
0
OO
F2 = 2 5 (V2)a dw.
(14.48)
Разумеется, в классическом случае возможно, что (F2)to = О, но в состоянии теплового равновесия в резонаторе всегда имеется электромагнитное излучение, причем
(P) =_К (и) *Tf"__(14 49)
R2C2W2 + (LCco2 — I)2 ' U+.iy;
где использована классическая формула Найквиста (14.17) для (S2)a, a L(со), С(со) и R(со) —самоиндукция, емкость и сопротивление контура, эквивалентного данному резонатору при вычислении напряжения V. Контур при этом считаем принадлежащим к типу, изображенному на рис. 14.1 (последовательное включение), так что Z = R — i(wL—1 /соС), Ja = SafZ(w) и
319 К» = Jtu/'шС = <§aj'mCZ. При использовании же квантовой формулы Найквиста (14.16) получаем
OO
TmTv-Л (2/я) R (м) {Vaftm + /гсо/[ехр (tia/xT) - 1] } / sin '/2сот у , ^ a^ J R2C2U2+ (LCa2- I)2 I4 V2MX ) а(0
(14.50)
или для слабозатухающего (высокодобротного) резонатора с собственной частотой со,- = 11 л! LC
W=C('/И- + „ - , ) (??1)'- <"•«¦>
Поскольку движение электронов считалось выше классическим, приведенный результат справедлив лишь с известными ограничениями. Если вспомнить, однако, что длина волны электрона X = 2nti/mv 10~8 см при К, = l/2mv2 10 эВ, ясно, что классический подход для резонаторов, пронизываемых электронным пучком, практически всегда пригоден. Между тем в целом ряде статей (ссылки см. в [196]) вся рассмотренная выше задача и с тем же результатом решалась квантовомеханически в применении как к излучению, так и к движению электронов. Из сказанного ясно, что это, вообще говоря, излишне (некоторые дополнительные оговорки см., однако, в [196]).
В заключение сделаем еще общее замечание, касающееся условия применимости классической теории.
Часто это условие сводится к неравенству
Zzco <С К, (14.52)
где со — частота осциллятора или излучения, а К — некоторая характерная энергия (кинетическая энергия нерелятивистской частицы mv2/2, средняя энергия классического осциллятора в тепловом равновесии хТ и т. д.). Совершенно очевидно, однако, что условие типа (14.52) далеко не всегда достаточно. Конкретно, если речь идет о каких-то волнах, то они характеризуются не только энергией Йсо, но и импульсом hk. Естественное требование классичности, которое может возникнуть помимо (14.52) при рассмотрении взаимодействия волны с частицей имеет вид
MK р, (14.53)
где р — импульс частицы.
Для излучения в вакууме hk = h®/c и условие (14.53) для нерелятивистских частиц (с р = mv <С тс) значительно слабее условия (14.52), принимающего вид Йсо <С mv2/2. В ультраре-лятивистском случае неравенства (14.52) и (14.53) при k = со/с, К = Vm2C4 + C2P2 ~ ср, очевидно, совпадают. Но в среде, если hk = han/c, ситуация при достаточно большом п уже может из-
319 меняться. Далее, для сред с пространственной дисперсией при вычислении проницаемости є,-/(cd, к), как мы подчеркивали в гл. 11, переменные cd и к должны, вообще говоря, считаться независимыми. Поэтому соблюдение условия классичности типа (14.52), всегда достижимое при достаточно низких частотах со. вовсе не обеспечивает выполнения условия классичности при больших k. Например, плазму можно считать классической лишь для длин волн К = 2n/k, значительно превосходящих длину волны де Бройля Хб = h/mv для электронов в плазме (для равновесной плазмы обычно достаточно рассматривать только электроны с энергией К = ти2/2 порядка средней тепловой энергии 3/2хТ, откуда приходим к условию классичности k <С < -у/хтТJh', в связи со сказанным см. статью [197]). Требование a = 2n/k > Xb= h/mv совпадает, конечно, с (14.53) с р = mv. Глава 15
РАССЕЯНИЕ BOJIH В СРЕДЕ
Рассеяние электрс иагнитных волн (света) в среде. Ширина линий а спектре излучения и в спектре рассеянного света. Комбинационное рассеяние Света с образованием поляритонов (реальных экситонов). Рассеяние на свободных электронах и в плазме. Переходное рассеяние в плазме.
