Теоретическая физика и астрофизика - Гинзбург В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Действительно, как было отмечено в статьях [192], не только результат (14.34), но и (14.33) можно получить несравненно проще, чем в [191], путем следующего приема **). Предположим, что все среды 1, 2 и 3 прозрачны. Тогда внутреннюю энергию W и свободную энергию SF системы можно представить в виде
W = W = SF -T = COa, Т),
a
Wa= V2ZtoaCth Ыа
2 и г
Г = Yj {у-Т In (1 - ехр (- -?^)) + V2AcoaJ,
(14.36)
где COa — собственные частоты; при вычислении силы F = = — dtF/dl существенны только частоты соа, зависящие от /. Такие частоты соа(/), отвечающие «поверхностным» колебаниям в щели, находятся без труда. Их подстановка в (14.36) и приводит к (14.33) или в частности к (14.34). Для иллюстрации получим эту последнюю формулу***).
*) Сила F равна компоненте стг2 тензора натяжений, где ось г направлена перпендикулярно щели.
**) В статьях [192] фактически поступают так, как сказано в тексте, но странным образом нет никакой оговорки о том, что непосредственно рассматривается только прозрачная среда.
***) Отметим, что такой прием в применении к двум идеальным проводникам, разделенным пустой щелью, был использован уже довольно давно [193], причем привел как раз к формуле (14.35). В этом случае особенно
12 В. Л. Гинзбург
353 Волновое уравнение в каждой из однородных областей 1, 2 и 3 (см. рис. 14.3) имеет вид
AE + ~ E = 0.
1 ci
Ищем его решения вида
E = E0 (г) ехр [г (kxx + kyij)]. Тогда для E0(z) получаем уравнение
-K2E0 (г) = 0, K2 = kk^kl + ki
Интересующие нас решения E0(г)—решения «поверхностного» типа, т. е. локализованные вблизи щели, имеют, очевидно, вид: /4ехр(—K\z) в области 1, ?exp(—Кзг) + С ехр (Ksz) в области 3 и Dexp(K2z) в области 2. На границах (при z = 0 и z==I) эти решения должны быть «сшиты» с помощью электродинамических граничных условий — требования непрерывности величины eEoz(z) и компонент E0x (z) и E Qy (г).
Поскольку, как сказано, мы хотим ограничиться статическим случаем, нужно положить K2 = k2 (формально это достигается при c-v оо) и можно не рассматривать магнитное поле (поэтому соответствующее уравнение и не выписывалось). Наконец, из условия div E = O, справедливого в каждой из областей 1, 2 и 3, следует, что компонента E0y (z) пропорциональна dE0z(z)/dz (удобно направить к вдоль оси х, что не приводит к нарушению общности). Поэтому на границах 1—3 и 3—2 должны быть непрерывны величины еЕQz и dE0z{z)/dz. В результате получаются четыре однородных уравнения для амплитуд А, В, С и D. Условие существования нетривиального решения этой системы уравнений имеет вид
*W = ехр(2«) —1=0, (14.37)
где Єї, Є2 и єз — функции СО. _
Дисперсионное уравнение (14.37) связывает k = V^2 с со = COa, т. е. определяет собственные частоты волн в щели.
наглядна роль нулевых колебаний поля — при достаточно низкой температуре сила равна
OW д X^
F = —дГ = "ш Lxuhaa {1)'
а
где COi (/) —частоты собственных колебаний электромагнитного поля в щели (считается, что T = 0).
319 Согласно (14.36), при 7 = 0,
оо
г= 2nkdk{ },
а О
{ } = і ф ^ ^r [In ^ (CO)IrfCO,
2 OCO
(14.38)
где использована известная теорема теории аналитических функций— так называемый принцип аргумента, выражающий в виде контурного интеграла сумму значений некоторой функции (в данном случае функции '/2Йсо) во всех нулях со = соа другой функции (в данном случае функции SD (со)). Кроме того, существенно, что не нужно учитывать полюсов функции iZ)(co), поскольку соответствующие значения сооо не зависят от / (подробнее об условиях применимости расчетов см. [181]). Учтено также, что корни COa уравнения (14.37) зависят, как от параметра,
от k, а число таких корней в интервале dk равно -^yr dk;
поскольку в (14.36) входит сумма по всем корням, нужно интегрировать по k. Сила F =— dW/dl определяется значением производной
д dSD/dсо _ _ Ik dSD/dсо dl SD SD2
так как в силу (14.37) d3>/dl = 2k{3) записать
ад 2)/да
1). Наконец, можно
SD2
. = JL f J^
да V SD )
1
SD
и воспользоваться этим соотношением при интегрировании в (14.38) по со. Вводя переменные х = 2kl и ? =— г'со, а в качестве контура интегрирования выбирая мнимую ось со, сразу же получаем формулу (14.34). Отметим, что значения функций e(t|) для мнимой частоты со = i% можно найти, если известны значения в" = Im є при вещественной частоте со; мы имеем в виду формулу (см. § 62 в [44])
OO
ГЬ\ 1 I 2 f хе"(х) ,
о
Как упомянуто, аналогичным образом, но с учетом запаздывания (т. е. находя частоты coa(&) в щели точно — при К2 = = k2 — есо2/с2, а не при K2 = k2; см. выше) получается [1926, в] также и общий результат (14.33). Разумеется, в конце расчета проницаемости считаются уже произвольными, отвечающими реальным средам. Помимо общей сентенции — «победителей не
12*
355 судят», оправдать вывод формул (14.33), (14.34) для поглощающих сред на основе общего выражения (14.36) для прозрачных сред можно путем следующих аргументов. Во-первых, проницаемости єі, є2 и єз входят в (14.33) функциональным образом. Во-вторых, на мнимой оси функция є (и) всегда вещественна (см. § 62 в [44]). Поэтому результат, полученный для прозрачных сред (єі, є2 и є3 — вещественные, положительные величины при вещественной частоте со), и должен, видимо, совпадать со значительно более общим, пригодным для поглощающих сред. Вряд ли, однако, кто-либо поверил бы такому заключению, если бы оно не было раньше получено без дополнительных предположений. Как по этой причине, так и имея в виду другие родственные или аналогичные задачи, нужно как-то последовательным образом обобщить используемое разложение по собственным колебаниям с частотами соа на поглощающие среды. Это действительно можно сделать [181, 194].
