Теоретическая физика и астрофизика - Гинзбург В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Вместе с тем следует еще раз подчеркнуть слабость эффектов пространственной дисперсии в оптике — это обусловлено малостью коэффициентов (ш/с)б ~ 2па/К ~ Ю-2 — 10~3 и ?' = = (со2/с2) ? г» An2O2JrK2 ~ Ю-4—Ю-5. Поэтому понятна возможность пренебрежения пространственной дисперсией в большом числе задач. Столь же понятно, почему в настоящее время, когда усовершенствовалась техника измерений и расширился круг исследуемых явлений и объектов, значение учета пространственной дисперсии в оптике (не говоря уже о физике плазмы) все больше возрастает.
Довольно любопытно, что подлинный прогресс в области теории и эксперимента сопровождается иногда лишь кажущимися успехами, связанными в основном с введением новых терминов и забвением давно известного. Примером может, по нашему мнению, служить вопрос о поляритонах. Сделаем несколько замечаний на этот счет, поскольку они должны способствовать уяснению физической картины распространения волн в среде.
ОТО Напомним раньше всего классическую теорию дисперсии, для чего рассмотрим движение осциллятора с зарядом q и массой M под действием поля E = E0e~iat. Уравнение движения и вынужденное его решение имеют вид
СО/Г
д м
м
Eoe'
- iat
M O2 - <в*)
Е0е'
¦iat
(11.62)
Если не отличать действующее поле от среднего и считать, что среда состоит из независимых осцилляторов (11.62) с концентрацией N, то поляризация P равна
¦qN E
Siai 10
qhV
M (У - СО?)
E==
4л
Е. (11.63)
В случае кубических решеток, состоящих из двух колеблющихся друг относительно друга подреше-ток, роль г играет относительное смещение зарядов в подрешетках, a q и M — соответственно эффективный заряд и приведенная масса в расчете на одну ячейку или один ион. Если ввести обозначения W^V _ 4яе» _о2 ^Й т ii~ui{fi — сила ос-
циллятора) и добавить к є некоторую постоянную е0—1, то из (11.57) получаем
S(P)
_J_I_I_I_1_1_1_L4
Є (со) :
:Є0
(11.64)
О,if Ofia Jall 1,5 2,0 2fi 2,8 о_
IO1
Рис. 11.3. Зависимость диэлектрической проницаемости от ш/со Jl.
График построен в предположении, что є0 = 2, ?j/oj=^;/®! = 1. Это значит, что є (со) = 2 + (і — a'lOi^ '.
Это выражение, очевидно, эквивалентно формуле (11.57), которая применима в весьма широком числе случаев, но лишь вблизи резонанса со ж со;. Вид функции (11.64) ясен ИЗ рис. 11.3. Очевидно, Є (со) =OO При CO = COi = COx и є (со) =O при со = сйи =д/CO^l + Q2Je0, причем в области частот COi < со < wIl функция 8 (со) < 0.
Как мы знаем, для поперечных волн, распространяющихся в изотропной среде, C2k2/(?>2 = п2(со)= е(со). Эту связь можно рассматривать как уравнение для функции a(k) в нормальных волнах. Из (11.64) и из рис. 11.3 сразу же ясен вид зависимости (?>{k), которая и изображена на рис. 11.4, a. Ha частоте соц могут существовать также продольные волны. Верхняя ветвь co+(i%) кривой со (/г) с ростом к асимптотически приближается к прямой
<279 w==cft/Veo, поскольку при со -и»- оо проницаемость е ((!))'-> 80. Нижняя ветвь ©_(&) Кривой (0 (ft) при ft -V О стремится к прямой
(й = ск!^вЩ), в (O) = е0 + Q*/©^.
Совершенно очевидно, что переход от графика 11.3 к 11.4, а не выводит нас за пределы классической теории дисперсии. Эго
Рис. 11.4. Зависимость частоты to от волнового числа (длины волнового вектора) k для нормальных волн (поляритонов), могущих распространяться в
изотропной среде с проницаемостью е(со) типа (11.64): а) Без учета пространственной дисперсии, т. е. о), = =Const. При расчете положено
с2/г2/(о2 = е (и) =2 + — б) При учете пространственной дисперсии, когда
t 2 2 2/2 1
(o_L (fc)/(o_[_ (0) — и /со j_ (O)J ,т. е. E0= 2,
2/2 2 2 22 22/ йг7ш± СО) = 1, причем <й_|_ (?) = <й_1_ (O) + а к , где а = с /б.
Ветви (о± (k) отвечают решению уравнения = г (и, к), а ветвь для продольной вол-
ны CojJ {к) представляет собой решение уравнения є (ш, к) = 0. Фактически, как ясно из выражения (11.47) и выражения (12.36) (см. ниже), функции є (<й, к) для поперечных и продольных волн, вообще говоря, различны н равны соответственно (о), к) и е, (g)1 к), причем S^r (<в, 0) = e, (w, 0) — е (0). Однако при построении рис. 11.4,6 для простоты положено
(и, &) = ?/ (й> к) — &{ <й, k).
справедливо, конечно, и при распространении волн в твердом теле, где волны, отвечающие нижней и верхней ветвям на рис. 11.4, а, в последнее время как раз и называют обычно поляритонами. Таким образом, поляритоны в пределах классической картины тождественны с рассматривавшимися еще в
282 Прошлом веке нормальными электромагнитными волнами в твердом теле. На квантовом языке полярнтоны это «фотоны в среде», обладающие энергией ha(k). Разумеется, при учете пространственной дисперсии картина усложняется, но в простейшем, хотя и особенно важном частном случае, формально все сводится к замене в (11.64) постоянной со,- = он на функцию сох (к). В качестве иллюстрации, на рис. 11.4,6 приведены кривые со (к) для случая, когда CO2l (к) = со]_ (0) -j- a2k2 (подробнее см. в подписи к рис. 11.4).
Качественно новый элемент при учете пространственной дисперсии (на примере перехода от рис. 11.4, а к рис. 11.4,6) — появление (в некоторой области частот) двух решений — двух нормальных поперечных волн (поляритонов) с разными волновыми векторами к при данном значении частоты со (и данной поляризации). Второе из этих решений, обладающее большим значением к (и обычно значительно большим поглощением, которое здесь не учитывалось) и представляет собой упоминавшуюся выше «новую волну». Кроме того, при учете пространственной дисперсии вместо продольной волны лишь с одной частотой соii появляется продольная ветвь с частотами соц(к). Что собой представляют такие продольные волны особенно ясно на примере плазмы (см. гл. 12).
