Теоретическая физика и астрофизика - Гинзбург В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Наконец, еще одно замечание, касающееся наших исходных предположений.
Если не принимать во внимание затухание, то разложения типа (11.40) и (11.41) при сохранении в них лишь нескольких
9f.S выписанных членов могут оказаться недостаточными в следующей своеобразной ситуации. Пусть, например, ег/ (со, k) = = є (со, к) 6//, причем
е(со, к) = е(со) + ^---гг (11.42)
Х ' ' W 1 (со — (Bi)Zcoi — Hk2 v '
(индекс і у со,-, разумеется, не имеет ничего общего с тензорными индексами /', j и т. д.). Такое выражение иногда приближенно описывает ход є (со, к) вблизи частоты квадруиольной линии поглощения.
Пока член \\.k2 в (11.42) несуществен, мы имеем здесь дело с разложением типа (11.40). Но в общем случае
і (со — W Л/а. — iik2 [є (со, к) - є (со)] -1 = і-iIk21 ,
что не соответствует ни (11.40), ни (11.41). Легко, однако, обобщить выражение (11.42) для любого кристалла в духе феноменологического разложения (11.40):
Zij (со, k) = Zij (со) + Iyljl (со) ki + aijlm (со, к) ktkm,
aTilm К к) = h„m H + гЧ/7тп И kn + ^ij,тпр (®) knkp~
Аналогичным образом можно заменить в (11.40) ущ (со) на у,7/(со, к) и т. д. Для негиротропного кубического кристалла выражения (11.43) и (11.42) эквивалентны, причем
„ и ь P Ик% к
^iilmK-IKm ~ _ (Oi)Zw. - Ц2к2 Ч-
Если несколько обобщить выражение (11.42) и записать его в виде
Zii (со, к) = е,7 (со) + --a'iya2klk" ьь . (П.44)
" V ' - <oi)Z<oi + ?v + \xlmklkm ^
то в резонансе (т. е. при со—>со,) при v = 0 тензор є,/(со, к) при к->0 становится, вообще говоря, зависящим от s = k/k, т. е. оказывается неаналитической функцией k. В действительности, однако, всегда и аналитичность зависимости є,; (со, к) от
к при к-»-0 сохраняется даже в резонансе. Таким образом, потребность в разложении типа (11.43) может возникнуть только в окрестности резонанса и при пренебрежении затуханием. При учете же затухания использование разложений вида (11.43) может быть оправдано, вообще говоря, лишь при изучении эффектов пространственной дисперсии более высокого порядка.
Тензоры, фигурирующие в формулах (11.39) — (11.41), удовлетворяют ряду соотношений, вытекающих из общих свойств
<269
(11.43) симметрии тензора 8,7(0, к), обсуждавшихся выше. Так, в силу (11.10)
bU (®) = гц 8-/(co) = e/:'(co), -j
"{Ulfa)= —Ущ fa), 6,77((0) = -6(со), > (11.45)
^Ulmfa) = ^{llmfa), Pijlm fa) = Pjilm fa)- >
Кроме того, тензоры atjim и ?,//m всегда можно выбрать так, чтобы ащт = aijmi и fiijim = §цті (ниже предполагается, что сделан именно такой выбор). Напомним также, что магнитная индукция внешнего ПОЛЯ Bext везде, если не оговорено обратное, считается равной нулю.
При наличии центра симметрии и вообще для негиротропной среды из (11.12) следует, ЧТО
Yi// = 0, 6,77 = 0. (11.46)
В отсутствие поглощения и при вещественном к тензор Im е,-/ (со, к) = 0 и, следовательно, тензор є,/(со, к) = Re є,, (со, к) являются эрмитовыми. В этом случае в силу (11.45) все тензоры
B17-(CO), У Ulfa), 6,//(со), CLijIm (©) И ?,7/m (со) вєщєствєннь1.
Выше упоминалось о дипольных и квадрупольных линиях поглощения. Действительно, вблизи дипольных линий обычно достаточно использовать разложения (11.39), (11.40) или (11.41), а выражения (11.42) — (11.44) в первую очередь могут встретиться в случае квадрупольных линий. Вместе с тем нужно подчеркнуть, что сами упомянутые разложения в ряды по к не являются разложениями по мультиполям. Более того использование выражений (11.39) — (11.41) вовсе не ограничено областью каких-либо линий. Нужно также иметь в виду, что в произвольной оптически анизотропной среде и при произвольном направлении распространения света появление линии поглощения (или при пренебрежении поглощением — появление полюса у функции п2 = п2) не связано с резонансным возрастанием компонент єі7(со, к), как ясно уже из формул классической кристаллооптики (см., например, (11.27)).
Тензоры е;/(со, к), е"1 (а>, к) и, разумеется, фигурирующие в (11.40) и (11.41) тензоры єі7(со), є-.1 (со), y{f[, o(.j7, atflm и ?lj7m существенно упрощаются при наличии у кристалла элементов симметрии. Так, при наличии центра симметрии у ці = 6,77 = 0 (см. (11.46)), а в изотропной негиротропной среде тензор аціт имеет лишь две независимые компоненты, так что в этом случае (см. также гл. 12)
Ъц (со, к) = Є (и) Ьц + (Xtr (ей) (6;/ — SiSj) k2 + ОС/ (со) SiSjk2. (11.47)
Следствия, которые связаны с учетом симметрии кристаллов, для интересующих нас тензоров є,7 (со), у ijifa), CCijim (со) и других хорошо известны и подробно обсуждаются в [76, 168]. Поэтому ограничимся здесь лишь несколькими примерами.
<270 Как следует из соотношения (11.45), тензор уіц (и Ьщ) обладает следующими свойствами:
У XX, I = Y уу, I = У ZZ, I — 0> Уху, I = У ух, U Ууг. I = — Угу, h УZX, I == ~ Уxz, I Ц = 1, 2, 3 = x, у, z).
Таким образом, тензоры уiJt и бщ в общем случае имеют девять независимых компонент, и их можно записать в виде
У ill= eHmSmf 6Hl = eImJml' (11'48)
где eijm — единичный ПСЄВДОТЄНЗОр ТрЄТЬЄГО ранга (Єі23 = 1, 0213 = — 11 ец2 = 0 и т. д., при зеркальном отражении не изменяются) и g'ml и f'ml — псевдотензоры второго ранга.
