Теоретическая физика и астрофизика - Гинзбург В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
-j- div S = О,
где W — плотность энергии и S — плотность потока энергии. Подобная аргументация, однако, недостаточна при учете дисперсии и поглощения. Тем не менее условие (11.37) справедливо в общем виде, ибо вытекает из принципа симметрии кинетических коэффициентов [167]. Этот пример представляется достаточно показательным и полезным (во всяком случае автор настоящей книги считал особенно уместным его привести, поскольку сам проявил здесь известное непонимание).
Анализ граничных задач и конкретных граничных условий в средах с пространственной дисперсией еще далеко не завершен. Это обстоятельство не препятствует, к счастью, возможности исследования целого ряда вопросов на основе использования тензора 6,-/((0, к) или же родственных тензоров. Так, поскольку для нормальных волн (и вообще в отсутствие источников) div D = 0, в кристаллооптике вместо тензора є,/(со, к) иногда пользуются так называемым поперечным тензором диэлектрической проницаемости єі,,-/ (со, k). Этот тензор связывает в нормальных волнах вектор индукции с поперечной составляющей E_l поля Е, т. е.
D1 (со, k) = 8j_f tj (со, к) Е± j (со, к). (11.38)
Ниже мы тензором Єї,,-/ пользоваться не будем*); его связь с тензором є,-/ выяснена, например, в [76].
*) Продольность и поперечность величин мы здесь отмечаем соответственно индексам И и _L. Столь же часто используются индексы I vi tr (в частности, так будем поступать в гл. 12; в настоящей главе в связи с обилием индексов это было бы неудобно).
<266 Благодаря тому, что в оптической области для кристаллов пространственная дисперсия слаба (соблюдается условие (11.20)), практически во всех известных случаях можно вместо сравнительно сложной функции от к (какой обычно является тензор єг-/ (со, k)) пользоваться разложением тензоров ВЦ (со, к) или є"1 (со, к) в ряд по к с сохранением двух — трех членов. В теории оптической активности это обстоятельство было известно уже давно, причем в таком разложении в ряд достаточно, вообще говоря, сохранить лишь линейные по к слагаемые, так что *)
S11 (со, k) = B1, (и) + iy{jl (со) k[. (11.39)
При более общем рассмотрении можно вместо (11.39) использовать разложения
Bii (со, к) = Bii (и) + Iyijl (со) kt -f aijlm (со) kikm (11.40)
или аналогично для обратного тензора —
еГ/ (0, к) = еГ/ (0) + Ibiil (со) H1 + ?i//m (со) ktkm, (11.41)
где к = (со/с)ns, п = п + Ы — комплексный показатель преломления для волн с частотой со, распространяющихся в направлении S = к/к.
Использование тензоров Bij и є"1 как в общем виде, так и в форме разложений (11.40) и (11.41) в широких пределах эквивалентно, и выбор одного из них определяется соображениями удобства. Исключение составляют случаи, когда некоторые компоненты тензоров Bi, (со) или в~[ (со) стремятся к бесконечности (сильно возрастают). Например, если какая-то компонента є,/ (со) стремится к бесконечности, то разложение (11.40) для соответствующей компоненты є,7 (со, к) теряет смысл, если при этом обращаются в бесконечность также коэффициенты Ущ (со), CCijim (со) и т. д. В таком случае, очевидно, следует использовать разложение для тензора є"1 (со, к), которое при уменьшении bj} (со) становится особенно эффективным. Аналогично, в области сильного возрастания компонент є"1 (со) нужно пользоваться разложением (11.40), а не (11.41).
Проиллюстрируем сказанное на элементарном примере, выбирая ТеНЗОр Bij (со, к) в виде
е,7 (со, к) = е (со, 106,/,
*) Для некоторых кристаллов (кристаллические классы C3v, C40, С3ц, D3ll), несмотря на отсутствие центрі инверсии, тензор уiji = 0. В подобных случаях все вращение плоскости поляризации определяется членами разложения вида iyijimnkikmk„, опущенными в (11.39). Кроме того, вблизи частот квадрупольных линий поглощения коэффициенты Yi/; (w) не имеют резонансного характера, тогда как коэффициенты yt)imn(со) могут резонансным образом зависеть от о>. В этом случае роль опущенных в (11.39) слагаемых возрастает (см. [76], § 6.2).
<267 где
є (со, к) = S0
CO2 — со? + Hk2
Если эту функцию є (со, к) разложить в ряд по k2, то фактически это будет разложением по степеням отношения Ilk2/((o2 — сof). Поскольку в рассматриваемом случае
є (со) = е0 ¦
2
СО •
то при со —со/, когда є(со)->-оо, будут обращаться в бесконечность также и другие коэффициенты разложения (11.40). В то же время для тензора е-1 (со, к) разложение (11.41) идет фактически по степеням отношения іи,/г2/{(со2 — со2) є0 — а}, так что при сосо,- коэффициенты разложения в (11.41) остаются конечными.
В дальнейшем будем рассматривать эффекты пространственной дисперсии в кристаллооптике, используя разложения (11.39) — (11.41). Поэтому, помимо сказанного об условиях их использования, заметим, что поскольку тензор 6,7(00, к) для всех реальных сред зависит не только от со, но и от к, само наличие области применимости классической кристаллооптики базируется фактически на допущении о существовании при к 0 предела, к которому в этом случае стремятся тензоры 6,7((0, к) и єг.1 (со, к), причем сами пределы (т. е. тензоры є,/(со) и є".1 (со) соответственно) при к-V 0 не зависят от направления к. Иными словами, в основе кристаллооптики лежит допущение о том, что при малых к тензоры є,/(со, к) и є".1 (со, к) являются аналитическими функциями к. Справедливость этого допущения в значительной мере следует уже из того, что в рамках классической кристаллооптики удается объяснить огромную совокупность экспериментальных фактов. Строгое доказательство аналитичности тензоров 6//((0, к) и е~'((о, к) как функций от к при малых к может быть получено в рамках микротеории, позвляющей найти эти тензоры в явном виде для тех или иных кристаллов. Вычисление тензоров є,, (со, к) и є™.1 (со, к) для кристаллов производилось неоднократно (см., например, [76]). Во всех известных нам случаях как вне областей резонансов, так и в их окрестности, но при учете затухания тензоры е.;. (со, к) и е".1 (со, к) оказывались при к->0 аналитическими функциями к. По-видимому, нет никаких оснований сомневаться в аналитичности функций 6//((0, к) и er.1 (со, к) при к—
