Теоретическая физика и астрофизика - Гинзбург В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
E = E0 ехр [i (kr — со/)];
(11.18)
k = -j Я (со, s) s.
(11.19)
<259 Формально говоря, задача кристаллооптики*) заключается, таким образом, в первую очередь в исследовании функций яг (со, s) и Еог(со, s). В свою очередь вся информация об этих функциях содержится, если не говорить об уравнениях поля, в комплексном тензоре диэлектрической проницаемости е</ (со, к). Если при этом пренебречь пространственной дисперсией — считать, ЧТО 8(7 = 8(7 (со), то дело сводится к обычно излагаемой «классической» кристаллооптике. Тем самым, конечно, классическая кристаллооптика содержится в кристаллооптике с про-пространственной дисперсией как частный (или предельный) случай.
В оптике практически непоглощающих или слабопоглощаю-щих кристаллов пространственная дисперсия слаба в том смысле, что ее величина определяется, как уже упоминалось, малым параметром
= (11.20)
Именно по этой причине пространственной дисперсией в кристаллооптике обычно можно пренебречь, если речь не идет о качественно новых эффектах (гиротропия, оптическая анизотропия кубических кристаллов, появление дополнительных нормальных воли, отличная от нуля групповая скорость для продольных волн и т. п.). Кроме того, наличие малого параметра позволяет сильно упростить и конкретизировать исследование влияния пространственной дисперсии.
Учет пространственной дисперсии в кристаллооптике и вообще в электродинамике не является чем-то принципиально новым и может быть прослежен вплоть до прошлого века. Однако лишь лет 15—20 назад кристаллооптика с пространственной дисперсией возникла в качестве некоторой более или менее самостоятельной области исследования. Одновременно и еще более ярко выраженным образом учет пространственной дисперсии стал органической составной частью современной электродинамики сплошных сред, физики плазмы, теории твердого тела, теории металлов и т. д. Тем самым современное построение и изложение кристаллооптики, не говоря уже о физике плазмы, должно базироваться на электродинамике с учетом пространственной дисперсии. Другими словами, нужно исходить из связей (11.5), получить целый ряд общих результатов, а затем уже в качестве частного (пусть и самого важного) случая переходить к изложению классической кристаллооптики. Но в оптической литературе поступают, как правило, все еще по-старому— развивают сначала, а часто даже исключительно, классическую кристаллооптику. Именно по этой причине на кри*
*) Пользуемся здесь этим термином для краткости и тогда, когда речь идет и о более общем случае — распространении волн в произвольной (вообще говоря, анизотропной) среде.
<260 сталооптике с учетом пространственной дисперсии и представляется целесообразным остановиться в настоящей книге.
Перейдем к нахождению всех нормальных электромагнитных волн типа (11.18) в безграничной однородной среде, характеризуемой тензором є,-,-(со, к). Такие волны удовлетворяют уравнениям (11.1) С Jext = O, Pext = O, из которых получается волновое уравнение
rot rot E + ±^- = 0. (11.21)
Для плоских волн (11.18) уравнение (11.21) принимает вид
D=-^{?2E-k(kE)}. (И-22)
со
Подставляя сюда связь (11.5), получаем
{B11 (со, k) - k%i + IziIzi} Ei = 0. (11.23)
Эта алгебраическая система уравнений имеет нетривиальное решение E ф 0, если ее детерминант равен нулю, т. е. при условии
8,7 (со, k) -^6,7 + ^/1 = 0. (11.24)
Уравнение (11.24) часто называют дисперсионным — оно устанавливает связь между со и к для нормальных волн, и его решения можно записать в виде
щ = сог (к); /=1,2,3,... (11.25)
или же в форме (11.19), т. е. выражая к через со,
(О C^ Ii^
к = — П[ (со, s) s, п21 = —^г> (11.26)
где индекс / отвечает различным нормальным волнам. Уравнение (11.24) можно также записать в виде уравнения для Я2 (со, s)
(BiiSiSi) Я4 — [(BilSlSl) Bkk — (BikBkjSiSi)} Я2 + I Bii I = 0, (11.27)
где Bkk = Sp вц = ей + 822 + єзз, а различные решения этого уравнения как раз и отмечаем индексом I.
При неучете пространственной дисперсии, т. е. при е,у = = Bii(O)), уравнение (11.27) часто называют уравнением Френеля, и оно лежит в основе классической кристаллооптики. В этом случае уравнение (11.27) всегда имеет лишь два решения Я2 и п\, откуда ясно, что в среде при произвольных со и S могут распространяться только две нормальные волны, у которых вектор E (со, s) имеет поперечную составляющую Ex = = Е —(sE)s, S = к/k, Волны с Ex ==0, т, е, продольные волны,
<261 могут в отсутствие пространственной дисперсии существовать лишь для дискретного набора частот со. Действительно, для таких волн D = O (см. (11.22)), и так как имеет место связь Di = EijE,-, то приходим к выводу, что при D = O и E^O для продольных волн величины ю и к в общем случае удовлетворяют уравнению
I 8{] (со, к) I = 0. (11.28)
Нужно иметь в виду, однако, что выполнение этого равенства лишь необходимо, но еще недостаточно для появления продольных волн. Уравнение (11.28), получающееся также из (11.24), при неучете пространственной дисперсии принимает вид
|єг7(со)! = 0. (11.29)
