Теоретическая физика и астрофизика - Гинзбург В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
дЕ . . .
1ЇГ----дГ+4лІ>
где j — плотность тока, индуцированного полями E и В; иногда удобно ввести также поляризацию Р, причем D=E-)-4nP.
При наличии достаточно резких границ раздела необходимо использовать граничные условия, получающиеся из (11.1) в результате предельного перехода. Эти условия имеют вид (п — нормаль к границе раздела, направленная из среды 1 в среду 2\ индексы nut соответствуют нормальной и тангенциальной компонентам)
Eu = E2u [n(B2-Bi)] = ^l(i + Iext),
Bin = в2п, D2n — D\n = 4л (a + (Text).
Здесь iext и CText — соответственно поверхностные плотности внешних токов и зарядов, а плотности і и ст можно выразить, в частности, через D путем интегрирования по толщине поверхностного слоя. Конкретно (см. [163—165]),
2 2
і і
Плотности і и ст отличны от нуля, вообще говоря, как раз при учете пространственной дисперсии, когда связь между DhE содержит производные по координатам (см. ниже). Поэтому, если при пренебрежении пространственной дисперсией обычно полагают і = 0 и о = 0, то при ее учете для подобного предположения нет особых оснований. Заметим также, что при выводе граничных условий (11.2) предполагалось, что физические поля E и В на границе раздела не могут обращаться в бесконечность, в то время как индукция D может стремиться к бесконечности (последнее возможно, например, когда значение D определяется производными от E по нормали к границе раздела). Если плотность і пропорциональна 6-функции, то нельзя считать конечными и поля E и В, но этой возможности мы касаться не будем.
Для получения уравнений (11.1) из микроскопических уравнений Максвелла нужно провести в этих микроуравнениях статистическое усреднение. Тем самым векторы Е, D и В в (11.1) являются статистическими средними. Такие средние имеют вполне ясный смысл для среды, находящейся в состоянии термодинамического равновесия. Однако усреднение может производиться и в более общем случае (например, для метастабильных состояний, отвечающих перегреву, переохлаждению и т. п.).
(11.2)
<253 В силу усреднения в (11.1) не учтены флуктуации, но средние поля Е, D и В могут как угодно изменяться в пространстве и во времени — какое-либо дополнительное (помимо статистического) усреднение полей по г не только не необходимо, но и, вообще говоря, неосуществимо в электродинамике сред, последовательно учитывающей пространственную дисперсию. Аналогично, усреднение по t, вообще говоря, невозможно при учете частотной дисперсии.
Система уравнений (11.1) не является полной и, если угодно, она бессодержательна до тех пор, пока не указано соотношение, позволяющее выразить величину D = E+4nP через Е. В рамках линейной электродинамики это соотношение (его иногда называют материальным уравнением или уравнением связи) можно записать в общем виде
t
D1 (г, /) = \ dt'\ dr'iti (/, /', г, г') E1 (г', /')• (11.3)
-OO
В (11.3) учтен принцип причинности, в соответствии с которым индукция в момент времени t определяется только полем в прошлом и настоящем, т. е. в моменты /' ^ /. Если свойства среды неизменны во времени, то ядро е,7 может зависеть лишь от разности т = / — Ґ. Аналогично, если среда может считаться пространственно однородной, то е(/- зависит только от разности R = г — г'. В таких средах соотношение (11.3) особенно просто записывается для полей, имеющих вид плоских волн, т. е. для полей вида
E1 (г, t) = ?,(©, к) ехр [і (кг -со/)]. (11.4)
Подставляя (11.4) в (11.3), находим
/?,(©, к) = гц (со, к) Ej (со, к), (11.5)
где
OO
BiJ (со, к) = ^ dR ехр [— і (kR — сот] єг/ (т, R). (11.6)
о
Очевидно, для полей, произвольным образом зависящих от г и /, величины E (со, к) и D (со, к) имеют смысл соответствующих фурье-компонент, например,
E1 (со, k) = -J^r J Ei (г, /) ехр [- і (кг - со/)] dv dt.
Тензор е,/(оо, к) полностью описывает не только электрические, но и магнитные свойства среды, т. е. учитывает влияние индукции В на D (или, что то же, на индуцированный ток
j = -J-(D — E)] . В самом деле, уравнение поля
<254 для фурье-компонент имеет вид
В (со, k) = -^[kE(co, k)];
поэтому можно считать, что в (11.3), а значит, ив (11.5), (11.6) при учете пространственной дисперсии принято во внимание также и влияние В на D. Если же пространственной дисперсией пренебрегают, т. е. полагают є,-/ (со, k) = є,-/ (со, к 0) = = є/Дсо), то для неферромагнетиков в оптической части спектра нужно считать, что Bi = \іц Hj = Hi, т. е. \іц = бг/ (Sij- = 1 при і = / и 6,7=0 при іФІ). Для ферромагнетиков тензор |Лі/((о) даже в оптике, не говоря об области низких частот, уже не всегда сводится к б,/. На низких частотах при ?->0 введение тензора магнитной проницаемости [х,у при учете пространственной дисперсии необходимо и для пара- и для диамагнетиков.
При низких частотах (в частности, для статических полей) и длинных волнах (предел k-^0 отвечает однородным полям) именно введение магнитной проницаемости ji,y(co), наряду с є,/((о), удобнее, чем использование одного тензора 6,7(00, к). Этого вопроса нам будет удобнее коснуться в гл. 12 в связи с формулой (12.39). Иногда вместо тензора є,/(со, к) удобнее использовать тензор, ему обратный, т. е. тензор е^1 (со, к). В этом случае, очевидно,
