Прикладная теория катастроф Том 2 - Гилмор Р.
Скачать (прямая ссылка):
0 — члены, непосредственно используемые в алгоритме нахождения определенности; Q — члены, не прямо используемые в алгоритме нахождения определенности; И —члены, не представленные в алгоритме нахождения определенности, но порождаемые в алгоритме нахождения деформации; ? — базисные векторы пространства.
Шаг 2. Линейное векторное пространство Vp, порожденное всеми одночленами не выше второй степени, имеет размерность (2 + 4)!/2!4! = 15. Базисные векторные одночлены изображены на рис. 23.2 точками.
Шаг 3. Линейное векторное пространство VD, порождаемое полиномами Rii, представлено в табл. 23.2. Одночлены, которые появляются непосредственно в таблице, заключены в прямоугольники; одночлены же, которые могут быть выражены с помощью линейных комбинаций элементов /?<;, изображены в открытом пространстве. Линейное векторное пространство VD, порожденное этими многочленами, изображено на рис. 23.2 белыми и черными кружками, необходимо лишь добавить к ним полином #2i = х3 + ху2 + ху. Dim VD = 10.
Шаг 4. Линейное векторное пространство, порождаемое многочленами S;/, включает все базисные векторы, описанные выше, а также два дополнительных базисных вектора: Sm = ху и S20 = х2 + у2 + у. Это пространство порождается одночленами, изображенными черными и белыми кружками на рис. 23.2, двумя новыми одночленами ху — Sю и х3 = S2i — S12— S10, изображенными на этом рисунке черными квадратами, и полиномом S2о = = х2 + у2 + у. Размерность этого пространства равна 12.
Шаг 5. Дополнение к этому пространству в Vp имеет размерность 15 — 12 = 3 и порождается многочленами Tt(x,y). В качестве базисных векторов этого пространства Vu удобно выбрать три одночлена 1, х, х2 (белые квадраты). Тогда пространство Vd+Vu порождается одночленами, изображенными на рис. 23.2 кружками и белыми квадратами, вместе с многочленом Sn = х3-\-ху2-\-ху. Пространство Vp — (VD ® Vи) имеет размерность 15—(10 + 3) =2 и порождается двумя линейно независимыми комбинация*
Определенность и деформация
263
Рис. 23.3. Корни уравнения f(x, у) = хгу + у3/3 + уг12 = 0.
Соответствующий росток не является положительно определенным, так что f = - v1 4- (Д
МИ из трех одночленов у, ху, х3, которые также линейно независимы от S2i-В качестве базисных векторов удобно выбрать пару одночленов у, х3.
Шаг 6. Первые производные ростка f(x,y) порождают двумерное пространство (шаг 5):
"§7fce~x3’
Следовательно, f (х, у) = fCg = ах* + |3i/2, а ф 0, (5 ф 0, и f является 4-опре-деленной. Как только определим знаки а и |3, то с помощью обычного преобразования масштаба получим канонический росток вида ±х4 ± у2 Матрица устойчивости имеет вид
f = Г° °1
''I Lo ij*
так что коэффициент Р члена у2 должен быть положительным. Коэффициент а члена х4 должен быть отрицательным. Это может быть определено путем решения уравнения /(х,у)= 0. Линии корней и знаки функций в трех открытых областях, на которые эти линии корней разбивают R2, изображены па рис. 23.3. Если коэффициент а положителен, то fcg и, следовательно, f(x,y) будут положительно определенными. Тогда коэффициент а должен быть отрицательным, и
f(x, у) = х2у + -^- + -^-^ — х* + уг = fcg.
7. ПРИЛОЖЕНИЯ
7.1. Теорема о неявной функции
Используем правила нахождения определенности, деформации и канонических ростков для описания некритических точек, морсовских критических точек и неморсовских критических точек различных типов. На всем протяжении этого раздела мы будем изучать функции / переменных состояния, значения которых в начале координат равны нулю.
264
Глава 23
Предположим, что V/ ф 0. Тогда можно считать, что / является 1-определенной, и написать
i-1f= tatxt, (23.50)
г-i
где по крайней мере один из коэффициентов а,- отличен от нуля. Для такого коэффициента (пусть это будет ai) dj/dx\ =* а\ф ф 0 и любой линейный одночлен х/ может быть записан в виде
(23-б1>
Аналогичным образом могут быть записаны все одночлены степени выше первой степени. Следовательно, / является 1-определенной. Кроме того, все одночлены не выше первой степени могут быть представлены в виде произведения df/dxi и одночлена п,(х) не выше первой степени. Таким образом, нет необходимости вводить деформирующие члены для f. Наконец, одномерное пространство Vp/Vd имеет базисный вектор I, и поэтому простейший канонический росток, частные производные которого порождают это пространство, имеет вид fce = х\, так что
Vf#0=>f =*=*,. (23.52)
7.2, Лемма Морса
Предположим, что Vf = 0, но det d2f/dxidxj = det fn ф 0. Далее предположим, что функция f является р-определенной, причем р = 2. Тогда
] = j*f=*±xix,ftl. (23.53)
Отсюда находим, что df/dxi = fijx/, а так как fij — невырожденная матрица, то каждый одночлен Х/ может быть представлен в виде линейной комбинации df/dxc.
