Прикладная теория катастроф Том 2 - Гилмор Р.
Скачать (прямая ссылка):
по, пи пг, ¦.. = 1, х, х3, ... . (23.39)
Тогда
‘"•о.-
(23.40)
Каждый одночлен степени не больше р может быть выражен в форме (23.38) при условии, что мы выбрали
Т0, Ти..., Т р—2 = х°, х1,..., хр~2. (23.41)
Так как постоянный член несуществен, то универсальная деформация f(x) = = хр равна
р-2
F (х\ ау а2......а ) = хр + ? а1х>¦ (23-42)
/-1
Пример 2. Вычислить универсальную деформацию функции }(х,у) = = Х*у ± уЩ.
Решение. Эта функция является 3-определенной. Частные производные Щ/дх = 2ху и df/dy = х2 ± у2, а также одночлены п/(х) и 3-струи их произведений Sa перечислены ниже:
nt(x, у) s./=;31
Па •=¦ 1 ху
til = X Х2У
«2 “ У хуг
«8 = *2 0
ду х2 ± у2 X (X2 ± у2) у (х2 ± у2) 0
(23.43)
9 Зак. 811
258
Глава 23
Ни один из одночленов х, у первой степени не может быть выражен в виде линейной комбинации Sti, поэтому полагаем, что fi(*,(/)== я и Т2(х,у)=у. Множество полиномов второй степени является линейным векторным пространством размерности 3. Функции Su = ху и S21. = х2 ± у2 могут быть взяты как два базисных вектора в этом пространстве. В качестве Ts(x,y) можно взять любой вектор этого пространства, линейно независимый с 5ц и S21. Например, можно взять хг, у2 или х2 =F у1. При построении табл. 2.2 мы выбрали Т = у1, однако для вычислительных целей (гл. 5) более удобно выбрать Т3(х,у) =¦-*2 =F у2. Все одночлены х3, х2и, ху2, у3 третьей степени могут быть выражены с помощью многочленов 8ц, так что универсальной деформацией f(x, у) является
F (х, у: аи а2, а3) = хгу ± у у3 + а,х + а2у + а3 (х2 =F у2). (28.44)
Пример 3. Вычислить деформацию f (х, у) — х2у + ур1р.
Решение. Эта функцйя является р-определенной, у которой df/dx = Ixy, a df/dy = х2 -f- ур~х. Одночлены п/(х,у) и р-струи Stj(x,y) перечне-
Л
= 2ху, а лены ниже
1 j (х, у) S4==iP{-§rni)
По = 1 ху х2 + ур
п2 = х Х2у X3 + ху
П1 = у ху2 Х2у + у
п3 --- х2 хъу х\
«4 = ху Х2У2 х3у
(23.45)
Все одночлены xrys, r^\,s^\,r-\-s^p, встречаются в списке многочленов Si/, а одночлены хг, 4 < г ^ р, и встречаются в списке многочленов S2/. Одночлен х3 может быть выражен в виде х3 — (х3 + ху1*-1)— хур-', так что минимальное множество Т,(х,у) должно включать х, у, у3, 1 < s < р— 1, и либо х2, либо i/p_1. Одной из универсальных деформаций функции х2у + ур/р является
Р- 2 р
F(x,y;al,...,ap) = x2y + -!t—+'^aly,+ ^ а/х/~(р~2). (23.46)
/-1 /-р-1
ООО Вычисление универсальной деформации функции двух переменных может быть значительно упрощено применением диаграммного метода в случае, когда df/dx и df/dy являются одночленами [2, 11]. Фактически диаграммный метод уже неявно был использован в (23.24) при пояснении алгоритма Ме-зера для вычисления определенности.
Пример 4. Вычислить деформацию Е^: х3 + уV
Решение, йто как раз тот случай, когда диаграммный метод позволяет значительно упростить проводимые вычисления. Одночлены хруя упорядочим в треугольник Паскаля. Тогда «тени», отбрасываемые df/dx = х2 н
Определенность и деформация
259
df/dy = у3, умноженными на одночлены Я/: \\ х, у, х2, ..., могут быть представлены в виде диаграммы
1 у
Остающиеся члены дают универсальную деформацию Е$ = х3 + у4. Без учета постоянного члена эта универсальная деформация является функцией размерности 5:
р (х, у) = щх + а2у + а3ху + а4у2 + asxy2. (23,48)
6. ПРАВИЛА НАХОЖДЕНИЯ РОСТКОВ
Правила нахождения определенности и деформации взаимно дополняют друг друга. В диаграмме, приведенной ниже, одночлены Rij(x,y), порождаемые в алгоритме нахождения определенности для функции f(x, у) — х3 + У4, лежат внизу, а члены деформации Tj(x,y), порождаемые в алгоритме вычисления деформации, лежат вверху [ср. (23.12) и (23.47)]:
Множества одночленов, окруженных штриховой линией, являются «тенями» х2 и у3. Лишь одночлены х2 = df/dx и у3 = df/dy не лежат ни внизу, ни вверху. Все лежащие внизу члены могут быть удалены путем гладкой замены переменных; все лежащие вверху члены обязательно входят в универсальную деформацию,
260
Глава 23
а остающиеся члены являются частными производными ростка f(x, у).
Эта «двойственность» незамедлительно подсказывает нам следующий алгоритм определения наиболее простого возможного ростка, связанного с р-определенной функцией f{xi, ... ...,Xt). Алгоритм требует найти число р — определенность функции /. (Далее будем работать только с полиномом f(x) = = jpf(x)-) При этом предполагается, что Vp— линейное векторное пространство, порождаемое всеми одночленами от Х\, ..., xi степени не больше р. (Тогда dim Vp = (р + /)!/р!/!.) Кроме того, Vd есть линейное векторное подпространство Vp, порождаемое всеми многочленами /?,-/, получаемыми в алгоритме нахождения определенности, a Vu — линейное векторное подпространство Vp, порождаемое минимальным множеством полиномов Tj, получаемых в алгоритме деформации. Тогда Vp—(Fo®l/t/)== = Vp/(Vd® Vu) является линейным векторным пространством, порожденным первыми частными производными ростка /.
