Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гилмор Р. -> "Прикладная теория катастроф Том 2" -> 94

Прикладная теория катастроф Том 2 - Гилмор Р.

Гилмор Р. Прикладная теория катастроф Том 2 — М.: Наука, 1990. — 287 c.
Скачать (прямая ссылка): prikladnayateoriyakatastroft21990.pdf
Предыдущая << 1 .. 88 89 90 91 92 93 < 94 > 95 96 97 98 99 100 .. 109 >> Следующая


Пример 2. Определить, какой класс функций двух переменных f(x,y)

эквивалентен ростку ?e: f'(x,y)=x3-j-y\ приведенному в последней строке

табл. 2.2.

Решение. Работая с формулой (23.106), используем инфинитезималь-ные выражения х' = х + 6х, у' — у + Ьу, приведенные в (23.2), и функцию f\ заданную выше:

/' [*'. У'] = (х + бх)3 + (у -f Ьу)* = (х3 + у*) + 3хг6х + 4у36у + О (2).

(23.11)

Функция f(x,y) отличается от ростка (х3 + УА) лишь дополнительными членами, которые появились в (23.11). Члены второй степени и выше от инфи-нитезимальных величин 6х, б у могут быть отброшены. Так как нас интересует только качественный характер поведения функции f(x,y) в точке, то можно использовать лишь однородные нелинейные инфинитезимальные преобразования, имеющие 6Лг = 0 в (23.2). Инфинитезимальные члены первой степени, которые появляются при коррекции ростка (хг + у*) в формуле (23.11), — это в точности те члены, которые расположены в тени на диаграмме

1

» »

»г *» кг

Члены в тени, отбрасываемой элементом х2, происходят от члена Зх26х из формулы (23.11) в предположении 6<4j =0. Члены же в тени, отбрасываемой элементом у3, происходят от члена 4у36у — (df/dy)6y в предположении 6^2 ^ 0.

Коэффициенты всех лежащих в тени одночленов (23.12) являются инфи-нитезимальными величинами первого порядка. Довольно часто эти коэффициенты могут быть сделаны конечными и произвольными [1, 3] посредством
Определенность и деформация

251

итераций однородными нелинейными преобразованиями (23.2). Следовательно, класс функций f(x, у), эквивалентных ростку катастрофы Ев: }' (х, у) = х3 + + у\ имеет вид

f U У) = Л30х3 + А31х2у + ? АряхРУ4’ (23.13)

Р+<7>*

причем Лзо Ф О, Л04 Ф 0.

3. ДЕФОРМАЦИЯ

(УНИВЕРСАЛЬНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ)

Функции с неморсовскими критическими точками могут устойчиво встречаться лишь в семействах функций, зависящих от одного или более управляющих параметров. Поэтому можно изучать воздействие возмущения на данную функцию с вырожденной критической точкой, вложив эту неморсовскую функцию f(x) в семейство функций F{x\ а):

f=f(x), х = (хи ...,Xt),

F = F(x; а), а = (а1....аг),

'f(x) = F{x \ а) |а=

о-

Определение. Семейство функций F(x\a) называется г-мер-ной деформацией функции f(x) [3,4].

Чем больше семейство функций, тем более общие возмущения могут быть описаны. Есть надежда найти семейство, которое с одной стороны, достаточно велико, чтобы с помощью его можно было описать все возможные качественно различные возмущения f(x), а с другой стороны, достаточно мало, чтобы с ним было легко работать.

Определение. Заданная r-мерная деформация F(х\ а) называется версальной, если любая другая деформация F'(x'\a') функции f(x) может быть получена из нее путем гладкой замены переменных:

x'i = x'i(x\ а),

/ V, V 10 / (23Л5)

аа — аа{а), а — 1, 2........г ,

где г' не обязательно равно г.

Определение. Деформация F(x\a) называется универсальной деформацией f(x), если она является версальной и имеет минимальную размерность.

Пример 1. Для ростка f(x)= х3 имеем следующие деформации:

F1 (*; а\, а,г) = х3 + ахх + агх2 версальная, рг (х; Ъ) = х3 + Ьх1 неверсальная,

Fз (х\ с) = х3 + сх универсальная.
252

Глава 23

Так как росток х3 является 3-определенным, то наиболее общее возмущение имеет вид

р (х) = е0 + ei (х) + е2х2 + е3х3, (23.1?)

где все еi малы, eeRfl, ?) = (3+ 1)1/3! 11 = 4- Постоянный член всегда может быть исключен путем переноса начала координат. Поскольку он не играет существенной роли при обсуждении локальных свойств функции, то можно не принимать его во внимание. Если коэффициент ез ?= 0, то его можно удалить введением нового масштаба для переменной состояния х:

хх'= (1 + е3)1/3 х. (23.17)

Следовательно, ез можно также считать равным нулю. Отсюда следует, что Fi(x\ai, а2)—действительно версальная деформация х3, а деформации Fi(x;b)= (лг; О, Ь) и F3(x\c) = Fi(x;c,0) легко могут быть получены из Fh Отображения между F2 и F3 поясняют, почему F2 не является версальной:

F‘(*-1т#’*-г< (« »¦).

, /—Г ч ____ _____ (23.18)

F% ± д/ —g- с; cj = x3 ±У—3с х2 - F2 (х; ± У— Зс).

Гладкая замена переменных

1 .

х ->¦ х — -5- о,

3 (23.19)

b->b
Предыдущая << 1 .. 88 89 90 91 92 93 < 94 > 95 96 97 98 99 100 .. 109 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed